INTUICIÓN Y VERDAD

5.- INTUICIÓN Y VERDAD
Prof. Gustavo Piñeiro

1. Introducción: el enfoque gráfico
Cuando se enseña Análisis Matemático, más precisamente cuando se dicta un curso de Análisis I, es común apoyarse fuertemente en la intuición geométrica. Muchas veces, al plantear definiciones o demostraciones, se apela a lo que aquí llamaremos la “intuición dibujística”, es decir se recurre al gráfico como herramienta principal de la definición o del razonamiento en cuestión. Por ejemplo, es común que se diga que una función continua es aquella “cuyo gráfico se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel”. Las discontinuidades coinciden, según esta idea gráfica, con aquellos puntos en los que nos vemos obligados a levantar el lápiz del papel, tal como sucede por ejemplo en x = 0 para la función f(x) = . Posteriormente suele darse una definición más formal basada en la noción de límite, pero el concepto “dibujístico” inicial nunca es abandonado.Este enfoque gráfico no es para nada criticable, muy por el contrario, una aproximación gráfica intuitiva permite una mejor asimilación de los conceptos por parte de los alumnos. Por otra parte, este enfoque está totalmente de acuerdo con el desarrollo histórico de los conceptos, pues el Análisis fue inicialmente una herramienta para el estudio de curvas en tanto que objetos geométricos y sólo mucho después se transformó en el estudio de funciones.¿Pero deben los docentes quedarse únicamente con esta visión “dibujística” del Análisis? ¿Es la intuición geométrica suficiente para todos los fines? ¿Es realmente suficiente para distinguir la verdad de la mentira (al menos en el Análisis, ya que seguramente no en otros órdenes de la vida)?La intención en estas líneas es mostrar que el enfoque gráfico es insuficiente para distinguir cuáles afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Como método de razonamiento puede llevarnos a conclusiones erróneas. Está muy bien usar el método “dibujístico” como herramienta para la enseñanza, pero sería un grave error que el docente creyera que ese enfoque bastará para comprender adecuadamente todos los conceptos del Análisis (aun conceptos aparentemente tan sencillos como la noción de función continua). Presentaremos en estas líneas algunos ejemplos en los que se verá cómo la noción gráfica puede engañarnos.

2. El Teorema de Bolzano
Una propiedad fundamental de las funciones continuas es el llamado Teorema de Bolzano, que afirma que: si f : [a,b] ® R es una función continua tal que f(a) y f(b) tienen distinto signo (es decir, f(a) es positivo y f(b) es negativo, o viceversa) entonces existe algún c Î (a,b) tal que f(c) = 0. Tomemos la definición “dibujística” de la noción de continuidad y veamos, a modo de ejemplo, un razonamiento que justifique este teorema.Supongamos que f(a) <> 0 (si los signos fuesen al revés el razonamiento es igual). Gráficamente, que f(a) < x =" a"> 0 significa que en ese punto el gráfico está por arriba del eje x. Que f(c) = 0 quiere decir que en x = c el gráfico corta al eje x.La traducción gráfica del Teorema de Bolzano (para el caso en que f(a) <> 0) es entonces la siguiente: si en x = a el gráfico de f está por debajo del eje x y en x = b está por encima, entonces existe algún punto entre a y b donde el gráfico corta al eje x.La demostración gráfica es inmediata: si en x = a el gráfico está por debajo del eje x y en x = b está por encima y además no hay saltos (porque la función es continua) entonces, inevitablemente, la curva tuvo que cortar al eje en al menos un punto. En cualquiera de esos puntos de corte tenemos un valor de c en el que f(c) = 0.¿Es correcto este razonamiento? Todos estaríamos tentados de decir que sí y ninguno de nosotros, puestos en el trance de enseñar Análisis I, dudaría en usarlo para justificar el Teorema de Bolzano. Más aún, el autor de estas líneas, docente de Análisis Matemático en el CBC de la UBA, ha usado la definición “dibujística” de continuidad citada más arriba así como el razonamiento que acabamos de exponer para justificar el Teorema de Bolzano.Pero si este razonamiento es correcto, ¿por qué muchos libros de Análisis (especialmente los buenos libros de Análisis) suelen demostrar el Teorema de Bolzano de una manera mucho más complicada y menos intuitiva? (Véase por ejemplo Kuratowski, citado en la bibliografía) ¿Por qué se apela a pruebas complicadas, siendo que el argumento gráfico es tan claro e intuitivo? ¿Por pura maldad? ¿Puro rebuscamiento? ¿Excesivo amor al rigor lógico? La respuesta es que se apela a razonamientos no “dibujísticos” porque, como anticipamos más arriba, esos razonamientos son engañosos, traicioneros, pues así como sirven para convencernos fácilmente de afirmaciones verdaderas, con la misma facilidad pueden convencernos de afirmaciones que son completamente falsas.A modo de ejemplo, vamos a exponer cuatro afirmaciones de Análisis I. Cada una de estas afirmaciones será “demostrada” mediante un razonamiento “dibujístico” similar al que expusimos para el Teorema de Bolzano. Sin embargo, al menos una de esas afirmaciones es falsa. Es decir, daremos al menos un razonamiento que nos convencerá de algo que es falso.Invitamos a los lectores a que, después de que leer cada ejemplo, intenten determinar si la afirmación que se enuncia es verdadera o falsa. En la séptima sección diremos cuáles de las afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.

3. Primer ejemplo
Primera afirmación: toda función continua es derivable, excepto eventualmente en un conjunto aislado de puntos.Antes de ser “demostrada”, esta afirmación requiere alguna explicación. Desde el punto de vista “dibujístico”, una función es derivable si su gráfico es suave, es decir, si no tiene ángulos ni vértices. En los puntos donde aparecen esos ángulos la derivabilidad falla. Por ejemplo, es bien sabido que la función f(x) = x no es derivable en x = 0. Esto se observa claramente en el dibujo, pues en x = 0 el gráfico en forma de V del módulo tiene un vértice bien visible:(Nótese, por otra parte, que la función sí es derivable en cualquier otro punto y que su derivada vale 1 si x > 0 y –1 si x < s =" 1" r =" 0,5" t =" 1,5" s =" 1,5;" style="" href="http://www.blogger.com/rearrange?blogID=3689132193383213256&action=editWidget&sectionId=footer&widgetType=Text#_ftn11" name="_ftnref11" title="">[10]Es interesante notar que es muy difícil, por no decir imposible, imaginar correctamente el gráfico de esta función, que se parece a una nube horizontal de puntos a la altura de y = 1 y una nube similar, aunque no idéntica, a la altura de y = 0. Puede demostrarse, “dibujísticamente” o formalmente, que esta función es discontinua en todo R, todos los números reales son puntos de discontinuidad de esta función. Tanto el razonamiento “dibujístico” como el formal se basan en el hecho de que entre dos números reales hay infinitos números racionales y también infinitos números irracionales.La cuarta afirmación dice que es imposible dar una función que sea continua en todos los números irracionales y discontinua en todos los racionales. Una función así tendría totalmente “mezclados” sus puntos de discontinuidad con sus puntos de continuidad y, de hecho, violaría lo afirmado en el ejemplo anterior. Este razonamiento parece probar que una función así no puede existir.

7. Respuestas
Esperamos que los lectores hayan podido reflexionar acerca de cuáles de las cuatro afirmaciones anteriores les parecen verdaderas y cuáles falsas. Pues bien, la respuesta es que las cuatro afirmaciones son falsas. En todos los casos el razonamiento “dibujístico” nos ha engañado.Mostraremos a continuación contraejemplos para cada una de las afirmaciones. Por razones de espacio no podremos demostrar que, en efecto, cada una de las funciones que mostraremos cumple las propiedades que vamos a atribuirles.Contraejemplo a la primera afirmación: recordemos que esta afirmación dice que una función continua es derivable excepto tal vez en un conjunto aislado de puntos. Esta afirmación es tan convincente que en 1806 André-Marie Ampère publicó una “demostración” gráfica de ella, que en aquel momento fue aceptada como correcta.En 1872, en una conferencia ante la Academia de Ciencias de Berlín, Karl Weierstrass mostró un ejemplo de una función que es continua en todo R, pero que no es derivable en ningún punto. Todos los números reales son puntos de no derivabilidad de esta función. Como curiosidad mostremos su fórmula: . Su gráfico es inimaginable, completamente “picudo por todos lados”. Puede encontrarse más información acerca de esta función en http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-06.shtm#MandelbrotWeierstrass.Contraejemplo a la segunda afirmación: esta afirmación dice que si f : [0,1] ® R es una función continua tal que f(0) = 0 y f(1) = 1 entonces existe algún c donde f es derivable y además en ese punto la derivada es positiva. El contraejemplo en este caso es la llamada Función de Cantor, que se define por pasos sucesivos de la siguiente manera. Para comenzar dividimos el intervalo [0,1] en tres partes iguales, que son los subintervalos .En un primer paso definimos el valor de f para los x que están en el intervalo central. Para todo definimos . En el segundo paso dividimos cada uno de los dos intervalos de los extremos, es decir , en tres partes iguales y definimos f para cada uno de los dos novenos centrales. Para definimos y para definimos . Y así sucesivamente. Éste es el gráfico parcial de la función después de estos dos pasos:Al cabo de infinitos pasos, el gráfico tiene un aspecto similar al siguiente:Los que parecen ser segmentos oblicuos en realidad no lo son, ya que una ampliación de la imagen nos mostraría más segmentos horizontales unidos por aparentes segmentos oblicuos, que a su vez son segmentos horizontales más pequeños y así sucesivamente.En realidad el gráfico es, más o menos, un “pegoteo” de segmentos horizontales. Puede demostrarse que la Función de Cantor (también llamada Escalera del Diablo) es continua, que f(0) = 0, f(1) = 1, no es derivable en todos los puntos del intervalo [0,1], y que en todos los puntos donde es derivable, la derivada vale 0. Nunca la derivada es positiva. Más información sobre esta función se puede encontrar en http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-05.shtm#EscaleraDiablo.Contraejemplo a la tercera afirmación: esta afirmación dice que si f : R ® R es continua en un punto entonces es continua en todo un intervalo alrededor de ese punto. Un contraejemplo para esta afirmación es la siguiente:Puede demostrarse que esta función es continua únicamente en x = 0 y en ningún otro punto.Contraejemplo a la cuarta afirmación: esta afirmación dice que es imposible definir una función f : R ® R que sea continua en todos los números irracionales, pero discontinua en todos los racionales. Vamos a exhibir una función que sí cumple las condiciones indicadas.Recordemos que todo número racional se puede escribir como una fracción , donde a y b son números enteros. Si ponemos la condición adicional de que b > 0 y que el máximo común divisor de a y b sea igual a 1, entonces la escritura como fracción es única. Podemos definir entonces la siguiente función:Puede demostrarse que esta función es continua en todo número irracional y discontinua en todo racional.8. Conclusión¿Por qué fallan los razonamientos “dibujísticos”? ¿Por qué es tan fácil ser engañados por ellos? Una respuesta posible, aunque seguramente sólo parcial, es la siguiente. Cuando pensamos en el gráfico de una función solemos pensar en curvas como ésta:Gráficos suaves, curvas bien visibles. Pero los gráficos, aun de las funciones continuas, pueden ser mucho más complicados de lo que podemos imaginar. El gráfico de la Función de Cantor, mostrado más arriba, que es en realidad un fractal, o el gráfico de la Función de Weierstrass, que es también un fractal, son muy difíciles de visualizar en toda su complejidad. No podemos confiar ciegamente en la intuición gráfica. Sólo las demostraciones formales nos dan seguridad de corrección. El razonamiento “dibujístico” es una excelente herramienta para la enseñanza, pero debemos ser plenamente concientes de sus limitaciones.

Bibliografía
GELBAUM, B.; OLMSTED, J – Counterexamples in Analysis – Dover Publications Inc., Nueva York, 1992.
KURATOWSKI, K. – Introducción al Cálculo – Editorial Limusa, México, 1995.
SPRECHER, D. – Elements of Real Analysis – Dover Publications Inc., Nueva York, 1970.