¿ QUÉ HACEMOS CON EL "CERO" ?

¿ QUÉ HACEMOS CON EL "CERO" ?

por Ariel Puntano

Muchos textos de Matemática de nivel medio suelen explicar que los números naturales son aquellos que utilizamos en la vida cotidiana para contar, y que reciben ese nombre porque fueron los primeros utilizados por el ser humano para enumerar objetos de la naturaleza.

Así obtenemos N = {1; 2; 3; 4;…}.

A esta sucesión 1, 2, 3… se la llama “sucesión fundamental”.

En esos mismos textos, cuando se incluye al cero se habla de No = {0, 1; 2; 3; 4;…}.

El 0 no es considerado un número natural. Otros textos, en cambio, especialmente los más recientes, sí incluyen al 0 en la sucesión fundamental y consideran que

N = {0, 1; 2; 3; 4;…}.

Entonces ¿el cero es un número natural o no? Si no es natural ¿por qué lo utilizamos en las operaciones con naturales? ¿Acaso la ley de cierre no dice: a + b = c / a, b y c Î N?§ 1. IntroducciónA la hora de encuadrar al 0 en el contexto de los conjuntos numéricos aparecen controversias y, aunque debemos ser muy cuidadosos con el lenguaje matemático que utilizamos, muchos libros de texto son poco claros al respecto. Si hablamos de números solamente, muchos matemáticos definen a la sucesión de números naturales como aquella formada por la sucesión fundamental 1, 2, 3 4… que comúnmente se utilizan para contar objetos. Pero si hablamos de conjuntos, los números naturales están formados por la sucesión fundamental más el cero, ya que en la teoría de conjuntos los números se utilizan para contar elementos de un conjunto. Por ello debemos ser prudentes al transmitir estos conceptos de objetos y elementos, que son abordados por dos teorías diferentes: la Teoría de Números y la Teoría de Conjuntos.La lectura de varios artículos y libros, tanto de nivel medio como superior, me ha llevado a desarrollar este trabajo que puede ayudarnos a los docentes y futuros docentes a abordar correctamente todos los temas en los que puede haber confusiones de lenguaje.§ 2. Historia de los números naturalesAun antes de que surgieran los números escritos, el hombre ya se las ingenió para contar utilizando para ello piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas o, simplemente, los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en varas o trazos específicos sobre la arena.Fue en la Mesopotamia, alrededor del año 4.000 a. C., donde aparecen los primeros vestigios de números propiamente dichos, que consistían en marcas con forma de cuña (de aquí el nombre de escritura cuneiforme) que eran grabadas sobre pequeñas tablas de arcilla usando palillos aguzados. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, por los griegos y romanos.Los griegos emplearon simplemente las letras de su alfabeto, mientras que los romanos, además de las letras, utilizaron otros símbolos.Para llegar a la numeración que admite el valor relativo de las cifras y que simplifica tanto la escritura como los cálculos, fue preciso crear el número cero. Fueron los hindúes quienes, a principios de nuestra era, comenzaron a representar el cero primero mediante un punto, después usando un círculo y por último un óvalo. El conocimiento del cero pasó a los árabes y a través de ellos llegó a la civilización europea.§ 3. El camino para definir el concepto de número naturalA fines del siglo XIX muchos brillantes matemáticos alemanes trabajaban en el problema de definir rigurosamente los conceptos matemáticos fundamentales. Entre estos matemáticos estaban Karl Weierstrass, Richard Dedekind y Georg Cantor, siendo este último quién realizó el primer estudio formal de la teoría de conjuntos.Richard Dedekind definió a los números naturales sobre una base sólida, aunque derivó sus propiedades de una serie de postulados que implicaban que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta. Estos postulados fueron posteriormente formulados con más precisión por G. Peano, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. (Existen dos versiones de los postulados de Peano, en el presente artículo analizaremos ambas.)Pero fue Gottlob Frege quien se dedicó a la fundamentación de los números naturales con más profundidad y rigor. Frege no dio por supuesta la existencia de los números naturales, sino que demostró esta existencia partiendo de principios más fuertes, ligados a la lógica y la teoría de clases (o conjuntos). Sin embargo la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad, cuando Bertrand Russell demostró que sus métodos estaban basados en principios contradictorios.Russell analizó las clases, especialmente la clase de todas las clases. Ésta contiene clases de dos tipos: aquellas que se contienen a sí mismas como elementos, y aquellas que no. Si Y es la clase de las clases que no se contienen a sí mismas entonces resulta que “Y es un miembro de Y si y sólo si Y no es un miembro de Y”. Esta contradicción marca una falta grave en el llamado principio de comprensión (uno de los principios de la teoría de Frege) que dice que a cada propiedad le corresponde una clase. Este hallazgo de Russell paralizó el proyecto de Frege de reducir la aritmética a lógica y la teoría de clases. En 1903 el propio Russell publicó Principios de las Matemáticas, en el cual ofrece un primer intento de resolver la paradoja que él mismo había hallado. Intento que a la larga también fracasó.Fue finalmente E. Zermelo, hacia 1908, el primero en dar axiomas adecuados para la teoría de conjuntos y quien demostró, a partir de esos mismos axiomas, la existencia del conjunto de los números naturales. Modificaciones posteriores del sistema de Zermelo, debidas a Adolf Fraenkel y John von Neumann, permiten construir a cada número natural como un conjunto en sí mismo dento del contexto de los llamados números ordinales.Como vemos, el camino recorrido por los matemáticos para definir los números naturales tiene una larga historia de idas y venidas.§ 4. Los números naturales según la Teoría de ConjuntosEl primer estudio formal sobre la teoría de conjuntos fue realizado por el matemático ruso–alemán Georg Cantor a mediados del siglo XIX. Cantor definió a los conjuntos de la siguiente manera:Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.Es importante aclarar que Cantor utiliza la palabra “objetos”, pero luego es reemplazada por “elementos”. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto.De la relación entre distintos conjuntos surge el concepto de número natural. En el siguiente diagrama se relaciona cada elemento de A con un elemento de B.Gráfico Nº1Queda establecida una correspondencia “uno a uno”, de A hacia B. También se pueden relacionar de la misma manera los elementos de B con los de A.Esta correspondencia “uno a uno” y su recíproca se llama correspondencia biunívoca. Cuando es posible establecer una correspondencia de este tipo entre dos conjuntos se dice que estos son coordinables o equipotentes.La propiedad común de todos los conjuntos finitos que son coordinables o equipotentes es el cardinal de esos conjuntos. Si dos conjuntos son equipotentes tienen el mismo número natural o el mismo cardinal.La equipotencia permite clasificar los conjuntos.*El conjunto vacío forma una clase.*Los conjuntos unitarios otra clase.*Los conjuntos binarios otra clase.Y así sucesivamente.Al número o cardinal de cada clase se le asigna un nombre y se lo representa por un símbolo o numeral (#). Al número de la clase vacía lo llamamos

CERO:Card.{} = #{} = 0

Al número de la clase de los conjuntos unitarios lo llamamos UNO:Card. {0} = #{0} = 1

Al número de la clase binaria o de pares los llamamos DOS:Card. {Ñ; ÿ} = #{0; 1} = 2

Y así seguimos:Card. {Ñ; ÿ; *} = #{0; 1; 2} = 3

Estos números se llaman naturales N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}.§ 5.

Los números naturales según la Teoría de NúmerosLos axiomas de Peanos o postulados de Peano definen de manera exacta al conjunto de los números naturales. Fueron establecidos por el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) a fines del siglo XIX.

Básicamente, los naturales se pueden construir a partir de 5 axiomas fundamentales:

1) 1 es un número natural. (es decir, el conjunto de los números naturales es no vacío)

2) Si a es un número natural, entonces a + 1 también es un número natural (llamado el sucesor de a).

3) 1 no es sucesor de ningún número natural. (primer elemento del conjunto)

4) Si hay dos números naturales a y b tales que sus sucesores son diferentes entonces a y b son números naturales diferentes.

5) Axioma de inducción: si un conjunto de números naturales contiene al 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos entonces contiene a todos los números naturales.El sistema axiomático de Peano es esencialmente ordinal, y define al conjunto de los números naturales algebrizando con las operaciones de adición y multiplicación.Los axiomas de Peano tal como fueron originalmente escritos (en latín) dicen:

Términos primitivos: “1(uno)”; “número” y “sucesor”Postulados o axiomas:- 1 es un número- El sucesor inmediato de un número también es un número- 1 no es el sucesor inmediato de ningún número- Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato- Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad pertenece a todos los números (inducción matemática)

Definiciones:

I) de adicióna) a + 1 = S(a) cualquiera sea a Î Nb) a + S(b) = S(a + b) cualesquiera que sean a y b en N

II) de multiplicacióna) a . 1 = a para todo a Î Nb) b) a . S(b) = a . b + a cualesquiera sean a y b en N§ 6. Otra forma equivalente de la teoría de PeanoEn el conjunto N no figura como elemento el 0. Peano mismo lo introdujo en otra versión publicada en 1895 en la Rivista di matematica, y muchos autores prefieren incluirlo. En este caso los axiomas no se modifican esencialmente, salvo que el 1 se sustituye por el símbolo 0. Sin embargo hay que cambiar las definiciones de adición y multiplicación.Términos primitivos: cero (0), número y sucesor o siguiente, más la noción de clase, que en Peano es casi sinónimo de propiedad. Peano especifica que No es una clase, aunque “número” es un nombre común.Los postulados son:- el cero es un número- el sucesor (el siguiente) de un número es un número- si el cero pertenece a una clase (= cumple una propiedad) tal que el sucesor de todo número que pertenece a la misma (= que cumple la propiedad) también pertenece (= la cumple),entonces todos los números pertenecen a la clase (= cumplen la propiedad); o como él comenta, o es la mínima clase que satisface .0, .1, .2.,- dos números sólo pueden tener el mismo sucesor si son iguales, y- el cero no es sucesor de ningún número.Definiciones de adición y multiplicación:I) Adicióna) a + 0 = ab) a + S(b) = S(a + b)II) Multiplicacióna) a . 0 = 0b) a . S(b) = a .b + aEn este caso se define 1 = S(0)En el lenguaje conjuntista actual, se resumirían en:Existe un conjunto N, una aplicación sgt : N à N, y un elemento 0 Î N tales que sgt es inyectiva, 0 Ï sgt(N), y si S Í N es tal que 0 Î S y sgt(S) Í S, entonces S = . (Donde “sgt” significa siguiente).Peano elaboró sus axiomas en un momento (finales del siglo XIX) en el que la búsqueda de una fundamentación sólida para todas y cada una de las partes de las Matemáticas se sentía como una necesidad inaplazable. Diversas crisis de la intuición (la demostración de Beltrami de que las geometrías no euclídeas eran tan firmes como la euclídea, la creación de la teoría de conjuntos por Cantor) hicieron a los matemáticos tremendamente desconfiados hacia lo que, hasta entonces, había sido tenido por indudable. Esta desconfianza en la intuición llevó a un reforzamiento del rigor y a una revisión de todo lo que se daba por evidente, intentando reducir “lo evidente” a la mínima expresión.§ 7. ConclusionesPara evitar confusiones en general se adopta:No designa el conjunto de números naturales con el CERO.No = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}Está formado por la sucesión fundamental y el cero.N designa el conjunto de números naturales sin el CERO.N = { 1, 2, 3, 4, 5,…}Está formado por la sucesión fundamental.Esta aclaración es importante para no perder de vista el concepto numérico del cero, aunque de la Teoría de Conjuntos se desprende que el cero es natural, ésta notación es la más generalizada, siempre que se tenga en cuenta que el cardinal del conjunto vacío es el cero, es un número que representa al cardinal de la clase vacía pero dentro de la misma teoría de conjuntos.Si lo analizamos desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, teniendo en cuenta lo anterior.(N; +) es monoide+ es ley de composición interna(N; +) es semigrupo conmutativo+ es ley de composición internaNo tiene elemento neutro, si existe elemento neutro se dice que el semigrupo tienen unidad.En cambio:(No; +) es semigrupo conmutativo con unidad.+ es ley de composición internaTiene elemento neutro, el cero.Para ser grupo deben cumplir: ley de composición interna, asociativa, con neutro y además inverso. En caso de ser conmutativo será grupo abeliano.(N; +) no es grupo+ es ley de composición internaNo tiene elemento neutro, ni inverso aditivo.(No; +) No es grupo+ es ley de composición internaTiene elemento neutro, el cero. Los demás elementos carecen de inverso aditivo.Si lo analizamos desde un punto de vista más elemental, de nivel secundario, podríamos analizar las propiedades de la suma en el conjunto de los números naturales.Ley de cierre o clausura:" a, b Î N $ c / a + b = c Ù c Î NEjemplo: 2 + 3 = 5 , 2, 3 y 5 Î NContraejemplo: 2 + 0 = 2, 2 Î N , pero 0 Ï NAdemás no existe elemento neutro.Por ello es importante mencionar que en el nivel medio o secundario siempre utilizamos No , y no N.Por ello la ley de clausura es:" a, b Î No : $ c / a + b = c Ù c Î NoAunque sabemos que la inclusión o no del cero, como se ha podido observar a lo largo del artículo es aún un tema de controversia, los docentes debemos adoptar una postura razonable, la de explicar con términos sencillos sin perder la rigurosidad matemática, que no todo está dicho en las ciencias matemáticas, y que sólo para facilitar el entendimiento y el razonamiento en esta disciplina se adopta por simple generalidad:No = { 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}N = { 1, 2, 3, 4, 5,…}Hypatia, la FilósofaUna Revista de Profesores y Futuros Profesores,del Centro de Actualización e Innovación Educativadel I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”. Por ello la respuesta a la pregunta: ¿Qué hacemos con el cero? Es, “depende para qué”. En el nivel medio necesito del cero para poder operar con números naturales y a ese conjunto lo llamo No. Por ello en muchos textos del nivel medio se trabaja con ésta simbología y de ésta manera. Aunque algunos autores cometen ciertos errores de nomenclatura como el que analizamos en el caso de la ley de cierre, que puede confundir al alumno, el docente debe estar allí para explicarle las ambigüedades que podemos encontrar y por qué.Como docentes y futuros docentes, debemos analizar bien las palabras y deducciones que llevamos a las aulas para dejar en los alumnos una impronta que marque la necesidad de recurrir a la matemática con el interés de una ciencia abierta y susceptible de cambios.

Bibliografía

1. BOGANI, G., DESTUET, E., y OHARRIZ, M.; Matemática 1. Plus Ultra, Buenos Aires, 1994.2. CANTOR, G.; Fundamentos para una teoría general de conjuntos (Escritos y correspondencia selecta). Edición de José Ferreiros. Crítica, Barcelona, 2006.3. KLINE, M.; Matemáticas, la pérdida de la certidumbre. Siglo XXI editores, México, 1985.4. REPETTO, C., LINSKENS M. y FESQUET, H.; Aritmética I. Kapelusz 18ª edición, Buenos Aires, 1967.5. ROJO, A.; Álgebra I. El Ateneo 16ª edición, Buenos Aires, 1992.6. RUSSELL, B.; Introducción a la Filosofía Matemática. Paidós, Buenos Aires, 1988 (originalmente escrito en 1918).7. TAPIA, N.; y otros.; Matemática 1. Estrada, Buenos Aires, 1995.8. VIDAL, R.; Álgebra lineal. Tomo I. Edicitex, Buenos Aires, 1984.