Asíntotas Funcionales (1° parte)

Asíntotas Funcionales (1° parte)

Ariel Puntano

En general cuando se definen las asíntotas de una función se cometen errores por querer ser “prácticos” o “didácticos” y de esta manera se crean ciertos “dogmas” acerca de las asíntotas. ¿Todas las asíntotas son rectas? ¿las asíntotas nunca cortan la función? ¿todas las funciones racionales tienen asíntotas?

§ 1. Introducción

En la enseñanza de la matemática, en el nivel medio o secundario, se estudian las asíntotas de algunas funciones. En general se define qué es una asíntota, cómo se calculan y en particular se hace hincapié en las asíntotas de funciones racionales.

Pero algunas definiciones no son exactas o se prestan a confusión, otras no son completas. Es cierto que se necesitan algunos conocimientos previos que en el nivel medio no se pueden enseñar (por una cuestión de tiempos y complejidad) como es el “acercamiento entre curvas”, pero si se pueden brindar algunos ejemplos de funciones en las que sus asíntotas son particulares y ampliar el criterio acerca del tema.

En el presente trabajo desarrollaré algunas definiciones, representaciones gráficas, ejemplos y ampliaré algunos conceptos con el propósito de proporcionar una herramienta de trabajo para el docente del nivel medio.

§ 2. Algunas definiciones de asíntotas

Definición Nº 1:

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y = f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Definición Nº 2:

Una asíntota es una línea recta o curva a la que se aproxima una curva como gráfica de determinada función sin llegar jamás a tocarla por más que se acerque.

Definición Nº 3:

Sea una función real de variable real definida en el intervalo o respectivamente , tal que:

(1) , que satisface:

(2) , o respectivamente:

(3) .

Entonces se dice que, para (respectivamente: ), la curva es una curva asintótica, o simplemente una asíntota para la curva .

Analicemos: las definiciones 1 y 2, ambas se contradicen cuando una define asíntota como recta (definición Nº1) y la otra como recta o curva (definición Nº2). La definición Nº2 afirma que la asíntota se acerca a la función sin llegar jamás a tocarla. Veremos ejemplos en los cuales las asíntotas son tanto rectas como curvas, también existen funciones en las que sus asíntotas cortan la función. Por ello la definición Nº 3 es la más apropiada y correcta, además con el acompañamiento del docente los alumnos pueden comprender ésta definición sin inconvenientes.

§ 3. Asíntotas rectilíneas

Clasificaremos las asíntotas rectilíneas (las llamamos rectilíneas puesto que luego veremos las asíntotas curvas) en:

· Verticales

· Horizontales

· Oblicuas

Tendremos en cuenta la definición Nº 3

Asíntotas verticales:

x = a es asíntota vertical de f (x) ó lím f (x) = ¥

El límite puede ser +¥ o -¥ si x tiende a a por la derecha o por la izquierda.

Asíntotas oblicuas y horizontales:

presenta asíntotas rectilíneas oblicuas.

En tal caso se tiene:

con , respectivamente: .

La recta es una asíntota oblicua para (asíntota rectilínea derecha) o respectivamente: (asíntota rectilínea izquierda). Cuando L, es una asíntota rectilínea derecha e izquierda simultáneamente se dice que L es una asíntota rectilínea.

Si m = 0 => es asíntota horizontal

Método de cálculo:

Supongamos

y . mÎR(respectivamente para ).

La curva , tiene una asíntota rectilínea derecha y dicha asíntota tiene por ecuación: , donde:

.

En efecto: Si la curva admite asíntota derecha, ésta tiene por ecuación: y se tiene:

con .

Por lo tanto tenemos:

Por lo tanto tenemos:

tomando límite:

y por lo tanto: .

Por otra parte se tiene:

y como , se tiene:

De esta manera obtenemos el método de cálculo de las asíntotas oblicuas.

§ 4. Algunos ejemplos de funciones y sus asíntotas

A continuación veremos algunos ejemplos que nos permitirán ampliar nuestra perspectiva acerca de una asíntota funcional, teniendo en cuenta las definiciones anteriores y las aclaraciones que hicimos al respecto.

Funciones exponenciales

En gráfico se representan las siguientes funciones:

a) f(x) = - 2(1/5)^x – 2 Dom: R

Asíntota horizontal y = - 2

b) f(x) = - 2. 5^x – 1 Dom: R

Asíntota horizontal y = - 1

c) f(x) = 2 . (1/5)^x + 2 Dom: R

Asíntota horizontal y = 2

d) f(x) = 2 . 5^x + 1 Dom: R

Asíntota horizontal y = 1

Podemos observar que estas funciones tienen asíntotas horizontales.

Funciones logarítmicas

En gráfico se representan las siguientes funciones:

a) f(x) = log (x + 3) Dom: (-3; +¥)

Asíntota vertical x = - 3

b) f(x) = log (x + 1) Dom: (-1; +¥)

Asíntota vertical x = - 1

c) f(x) = log x Dom: (0; +¥)

Asíntota vertical x = 0

d) f(x) = - log x Dom: (0; +¥)

Asíntota vertical x = 0

e) f(x) = - log (x – 1) Dom: ( 1; +¥)

Asíntota vertical x = 1

Las funciones logarítmicas tienen asíntotas verticales.

Funciones trigonométricas

f(x) = tg x Dom: R – {.....-p/2;p/2; 3 p/2;.....}

La función tangente tiene asíntotas verticales en x = .....-p/2;p/2; 3 p/2......, como es una función periódica T = p , desde menos infinito hasta más infinito con dicho periodo y en los puntos señalados presentará estas asíntotas verticales.

En el caso de la función f(x) = arc tg x, cuyo dominio es R, la misma tiene asíntotas horizontales en y = .....-p/2;p/2; 3 p/2.......

Continuará en siguiente número.

Bibliografía

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2003.

ABDALA, C.; y otros.; Carpeta de Matemática 2. Aique , Buenos Aires,

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SABA, J.; Estudio de las asíntotas de una función. U.C.V. Ingeniería,

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