Hypatia, la Filósofa. Año I, Nro 1. Septiembre de 2007
Hypatia, la Filósofa
Una Revista de Profesores y Futuros Profesores,
del CAIE del I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”.
Año I, Nº 1.
Septiembre de 2.007
ÍNDICE
1. NOTA EDITORIAL (Equipo de Redacción)
2. Historias: HYPATIA, la FILÓSOFA, RESEÑA BIOGRÁFICA. (Carlos Trapani)
3. Letras: LA GRAMÁTICA DE LOS MUNDOS POSIBLES (Gustavo Manzanal)
4. Entrevistas: GUILLERMO MARTÍNEZ (Liber Aparisi)
5. Ciencias: INTUICIÓN Y VERDAD (Gustavo Piñeiro)
hypatia.lafilosofa@gmail.com
Coordinador del Caie del I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”: Carlos Trapani
Equipo de Redacción:
Liber Aparisi
Gustavo Manzanal
Gustavo Piñeiro
Pablo Federico Rodríguez
Carlos Trapani
1.- HYPATIA, la filósofa: EDITORIAL
Esta nota editorial, como todas, está circunstanciada. Este proyecto colectivo busca la luz en los primeros días de Junio de 2007, en la Ciudad de Buenos Aires, por la iniciativa y labor autónoma de profesores y futuros profesores del I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”. Estas son nuestras circunstancias. Y las circunstancias connotan las acciones desde el contexto…
Pero ¿cuáles son las connotaciones provenientes de nuestro contexto? Una de ellas, la reciente elección de autoridades y legisladores para la Ciudad. Ante ella, los medios masivos de comunicación instalaron como posibles opciones sólo tres candidaturas, cuyas semejanzas son tan evidentes que la búsqueda de diferencias carecería de significado práctico. Habría que utilizar una lupa para encontrar matices diferenciales en los grados de responsabilidad o complicidad con el proceso de devastación de la educación pública intensificada desde la época de los ´90, y que aún perdura y predomina. La “elección” se limitó entonces, a optar por cuál de los tres “candidatos” va a continuarla.
Hay que reconocer, sin embargo, que la imposición mediática de esta triple alianza fue facilitada por la ausencia o debilidad de proyectos políticos -sociales y educativos- distintos al actual y con capacidad de superarlo.
Circunstancias que, como en la Alejandría de los tiempos de Hypatia, a los educadores y amantes de la sabiduría nos comprometen en la tarea de volver a pensar y expresar una opción ética en la que habremos de contribuir a la formación cultural que legamos a las generaciones que vienen.
Tal vez, como en vida de Hypatia, queden todavía –aunque des-cuidados– trabajadores intelectuales valiosos y espacios públicos accesibles para todos, para aprender, enseñar y producir conocimientos. Sabemos que hubo y hay educadores que ennoblecen nuestra profesión, no resignándose ante la fuerte tendencia a la destrucción de lo público. Vaya a ellos, con este proyecto, nuestro sincero reconocimiento y gratitud.
Pero no es suficiente, si se trata de compartir el camino de realización de sueños igualitarios. Para que la Educación Pública sobreviva y avance, los educadores y futuros educadores tendremos que sostener otra actitud política. Antes que -como en el desenlace de la vida de Hypatia- la política imperante logre acertar… y dar con el próximo techo en nuestras cabezas.
2.- HYPATIA DE ALEJANDRIA, LA FILÓSOFA. LA PRIMERA MUJER MATEMATICA DE LA HISTORIA[1]
Prof. Carlos Trapani
“Defiende tu derecho a pensar…
porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar”.
Hypatia de Alejandría.
En Alejandría, durante los seiscientos años que se iniciaron hacia el 300 a.n.e., comenzó una aventura intelectual que ha llevado más allá de los límites del espacio físico conocido antes y de las ideas heredadas hasta entonces. Pero no queda nada del paisaje y de las sensaciones de aquella gloriosa ciudad de mármol. La opresión y el miedo al saber han arrasado casi todos los recuerdos de la antigua Alejandría[2]. Su población tenía una maravillosa diversidad. Soldados macedonios y más tarde romanos, sacerdotes egipcios, aristócratas griegos, marineros fenicios, mercaderes judíos, visitantes de la India y del África subsahariana. Todos ellos -excepto la vasta población de esclavos- vivían juntos en armonía y respeto mutuo durante la mayor parte del período que marca la grandeza de Alejandría.
La ciudad fue fundada por Alejandro Magno y construida por su antigua guardia personal. Alejandro estimuló el respeto por las culturas diversas y una búsqueda sin prejuicios del conocimiento. Animó a sus generales y soldados a que se casaran con mujeres persas e indias. Respetaba los dioses de todas las culturas. Coleccionó formas de vida exóticas, entre ellas un elefante destinado a su maestro Aristóteles. Su ciudad estaba construida a una escala suntuosa, porque tenía que ser el centro mundial del comercio, de la cultura y del saber. Estaba adornada con amplias avenidas de treinta metros de ancho, con una arquitectura y una estatuaria elegante, con la tumba monumental de Alejandro y con un enorme faro, en la Isla de Faros, una de las siete maravillas del mundo antiguo.
Pero la maravilla mayor de Alejandría era su Biblioteca y su correspondiente Museo (en sentido literal, una institución pública -Estatal- dedicada al cultivo de las Ciencias y las Artes de las Nueve Musas). De esta biblioteca legendaria, lo máximo que sobrevivió fue un sótano húmedo y olvidado del Serapeo anexo de la biblioteca, que originariamente fue un templo consagrado a honrar al conocimiento.
Sin embargo, Alejandría fue en su época la mayor Ciudad del planeta, sede del primer auténtico Instituto de Enseñanza e Investigación Científica en la Historia (del tipo de los que hoy llamamos `Universidad´). Los eruditos de la biblioteca estudiaban el Cosmos. Cosmos es una palabra griega que significa “el orden del universo”. Es en cierto modo lo opuesto a Caos. Presupone el carácter profundamente interrelacionado de todas las cosas. Inspira admiración ante la intrincada y sutil configuración del universo. Había en la biblioteca una comunidad de eruditos que exploraban la física, la literatura, la medicina, la astronomía, la geografía, la filosofía, las matemáticas, la biología y la ingeniería. La ciencia y la erudición habían llegado a echar raíces. El pensamiento florecía en aquellas salas. La Biblioteca de Alejandría es el lugar donde los hombres reunieron por primera vez -y de modo fundamentado y sistemático- el conocimiento del mundo.
Hypatia fue la primera mujer que hizo contribuciones sustanciales al desarrollo de la matemática. Nació alrededor de 370 (¿?) en Alejandría. Su padre fue un prominente matemático y astrónomo llamado Teón, quien supervisó la formación de la hija y la educó en un ambiente de pensamiento, decidido a que se convirtiera en 'un ser humano perfecto', en una época en que se solía considerar que las mujeres eran menos que humanas, y desarrolló para ella una preparación física e intelectual intensa a fin de asegurarle un cuerpo saludable y una mente muy lúcida. Teón instruyó a la hija en el conocimiento de las diferentes religiones del mundo y le enseñó las filosofías de los Clásicos Griegos, el dominio de la lógica y la oratoria, así como los principios del aprendizaje y el arte de la enseñanza, lo cual motivó que personas de otras ciudades vinieran a estudiar con ella.
Luego, Hypatia viajó a Grecia y a Italia, y todos los que la trataron quedaron impresionados por su inteligencia y su belleza. Al volver a Alejandría, se dedicó a la enseñanza de la Matemática y la Filosofía. Enseñaba a miembros de todas las religiones, y fue titular de una cátedra pública de Filosofía. Según el enciclopedista bizantino Suidas, 'fue oficialmente nombrada para explicar las doctrinas de Platón y Aristóteles'. Los estudiantes iban a Alejandría para asistir a las clases de Hypatia sobre Matemática, Astronomía, Filosofía y Mecánica. La mayoría de los escritos de Hypatia fueron libros de texto para sus estudiantes. Ninguno ha permanecido intacto, pero diversos fragmentos de su obra están incorporados en los tratados existentes de Teón, con quien compartía la escritura.
Hay alguna información sobre sus talentos -filosofía, astronomía y matemática- en las cartas de su dilecto alumno y discípulo Sinesio de Cirene, cristiano rico y poderoso, obispo de la ciudad Ptolemaica. No hay evidencia de que Hypatia haya hecho investigación original en matemáticas. Sin embargo, asistió a su padre, Teón, al escribir con él los once volúmenes de su “Comentario al Almagest” célebre obra astronómica de Ptolomeo. También compartió con él la producción de una nueva versión de los “Elementos de Euclides” que se ha convertido en la base para todas las ediciones posteriores. Heath[3] escribe sobre la edición de Teón e Hypatia de los Elementos que: “... aunque hacen solamente adiciones poco importantes al contenido de los 'Elementos', se esforzaron por eliminar las dificultades que podrían encontrar los estudiantes en el libro, como haría un profesor moderno al revisar un libro de texto clásico para ser usado en las escuelas; y no hay duda alguna de que su edición fue aprobada por sus alumnos en Alejandría, para quienes fue escrita, así como por generaciones de griegos que lo usaron ampliamente ...”
Además del trabajo en conjunto con su padre, Suidas nos informa que Hypatia escribió en forma autónoma “Comentarios sobre la Arithmetica de Diofanto” y “Comentarios sobre las Cónicas de Apolonio” 2. Algunos epistemólogos recientes y contemporáneos consideran que el trabajo matemático más importante de Hypatia es su “Comentario sobre la Aritmética de Diofanto”, en 13 tomos. Diofanto vivió y trabajó en Alejandría en el siglo III y fue considerado el 'Padre del Álgebra'. Desarrolló soluciones para las ecuaciones indeterminadas, es decir, ecuaciones con soluciones múltiples. También trabajó con ecuaciones cuadráticas. Los “Comentarios” de Hypatia incluían soluciones alternativas y trataban sobre muchos problemas nuevos, que luego fueron incorporados a las sucesivas ediciones de los “Comentarios sobre la Aritmética” de Diofanto y a los “Comentarios sobre las Cónicas” [4] de Apolonio.
También dictaba clases de filosofía, enseñando de modo especial la Filosofía Neoplatónica[5]. Hypatia basaba sus teorías en las de Plotino, el fundador del Neoplatonismo, y de Iámblico, uno de los pensadores más amplios de esa vertiente, alrededor del año 300. Hypatia enseñó estas ideas filosóficas con un énfasis científico mayor que los seguidores anteriores del Neoplatonismo. Todos los comentaristas la describen como una maestra carismática.
Además de la Filosofía y la Matemática, a Hypatia le interesaron la Mecánica y la Tecnología. En las cartas a Sinesio están incluidos sus diseños para varios instrumentos científicos, incluyendo un astrolabio plano. Hypatia también desarrolló un aparato para la destilación del agua, un hidrómetro graduado de latón para medir el nivel del agua y un densímetro, instrumento para determinar la densidad específica de los líquidos.
Hypatia llegó a sintetizar filosofía y ciencia en sus prácticas de enseñanza, lo que los primeros cristianos identificaban con paganismo. Sin embargo, entre los alumnos a los que enseñó había muchos cristianos importantes. Uno de ellos, ya mencionado, es Sinesio de Cirene, quien después sería obispo de Termópolis, alejado de Alejandría. Se conservan muchas de las cartas que Sinesio escribió a Hypatia y vemos en ellas a alguien que estaba lleno de admiración y respeto por las habilidades científicas y didácticas de Hypatia.
En el 412, Cirilo se convirtió en patriarca (Arzobispo) de Alejandría. Sin embargo, el prefecto romano (Gobernador) de Alejandría era Orestes y ambos se convirtieron en acérrimos rivales en la eterna lucha por el poder político y el control social entre la Iglesia y el Estado. Hypatia era amiga y asesora de Orestes y esto, junto con los prejuicios contra sus posiciones filosóficas laicas, consideradas paganas por los cristianos, hicieron que Hypatia se convirtiera en el punto central de las luchas entre cristianos y no-cristianos. Hypatia, escribe Heath[6]: “... por su elocuencia y autoridad (...) logró una influencia tal que la cristiandad se sintió amenazada...”
La Alejandría de la época de Hypatia -bajo dominio romano desde hacía ya tiempo- era una ciudad que sufría graves tensiones. La esclavitud había agotado la vitalidad de la sociedad antigua. La naciente Iglesia Cristiana estaba consolidando su poder e intentando “extirpar” la influencia de la cultura pagana (politeísta, en especial, griega). Hypatia quedó en el epicentro de estas poderosas fuerzas sociales. Cirilo, el arzobispo de Alejandría, la despreciaba por la estrecha amistad que ella mantenía con Orestes, gobernador romano y ex alumno de Hypatia, porque era un símbolo de la cultura clásica y la ciencia pluralistas, que la primitiva Iglesia calificaba de herejía. A pesar del grave riesgo personal que ello suponía, continuó enseñando y publicando, hasta que “en marzo del año 415, cuando iba a trabajar, cayó en manos de una turba fanática de feligreses de Cirilo. La arrancaron del carruaje, rompieron sus vestidos, la arrastraron atada al carruaje hasta la iglesia de Cesárea y, armados con conchas marinas, la despedazaron arrancándole la carne de los huesos y los pedazos de su cuerpo fueron quemados hasta reducirlos a cenizas. Sus restos fueron “eliminados”, sus obras destruidas, su nombre (… casi [7]) olvidado. Luego, Cirilo fue canonizado y proclamado Santo”.[8]
La intolerancia fanática de todo dogmatismo no aceptó -ni aceptará jamás- a una mujer que pensara por sí misma, un ser independiente que no creía en dogmas ni aceptaba imposiciones jerárquicas; que creía en la capacidad de la humanidad para pensar y poder comprender y transformar el mundo que la rodea.
La opresión y la desconfianza al saber, propias de los autoritarios, han avasallado (…casi [9]) todos los entrañables recuerdos de Hypatia y del esplendor de la Antigua Alejandría.
3.- LA GRAMÁTICA DE LOS MUNDOS POSIBLES, COMO ENLACE ENTRE EL LENGUAJE NATURAL Y EL ARTIFICIAL
Prof. Gustavo Manzanal
El término ‘gramática’ significa, por lo menos, dos cosas bien distintas, casi antagónicas. Por un lado, refiere al dispositivo cerebral por el cual los seres humanos nos distinguimos —nótese que no lo estamos emparentando en este caso con el término ‘lenguaje’, pues es sabido que muchísimas especies (por no decir todas) cuentan con uno, capaz de conducirlas al establecimiento de relaciones funcionales con sus pares y su medio. Hablamos de un dispositivo cerebral compuesto de estructuras vacías al nacer, de perfiles delimitadores, de microfibrillas conectivas que se presentan proclives a encauzar encadenamientos de alta complejidad; compuesto también de sectores (faces), cuya fuente energética los pone en combinación con la totalidad del dispositivo (niveles de interfaz), hasta llegar a desembocar en un acto voluntario, muscular y expresivo, primero elemental y luego cada vez más elaborado —ocasión en que las estructuras vacías mencionadas comienzan a llenarse por influencia del contexto de situación—; merced a ese acto se consigue iniciar y desarrollar el atractivo sendero de la comunicación y de algo todavía más irrefrenable y responsabilizante: la CONSTRUCCIÓN DE LA REALIDAD.
Así, el tal dispositivo biológico llamado GRAMÁTICA forja una idea del mundo y traslada su propia conformación a la organización de esa idea, por tanto, al mundo como EVENTO interpretable. Lo que nació siendo una fuerza espiratoria también abre los canales a la introspección y con ello destina al ser para comprender y entablarse con todo lo que lo rodea. Fuerza centrífuga y centrípeta a la vez, la gramática se adueña tanto del deseo como de lo deseado.
Por otro lado, llámase ‘gramática’ al tratamiento que todas las culturas (al menos desde la hindú, hace veinticinco siglos, pues la de la lengua sagrada Sánscrito es la primera que se conoce) intentaron dar, no sobre el fenómeno que produce ‘lenguaje’ —en valores que incluyen a los recursos animales— sino en relación con aquel por el cual cada cultura tiene lo que se merece. Es decir, cada cultura miró hacia dentro mirando hacia fuera —recayendo en lo observable, que no es más que el dato frente al que uno ejerce cierto dominio, el dato sobre lo propio—; a lo largo de la historia son muy pocos los que miraron hacia fuera y dieron cuenta del afuera —lo que el ser humano está en condiciones de afrontar dada su condición—, ni miraron hacia dentro haciéndose cargo de ello —hablar, escribir, es mucho más que vérselas con unos sonidos o unos signos que bien podrían ser otros cualesquiera.
Pero el tratamiento se intentó, no llegando a ser más que una mera descripción de los acontecimientos motores y físicos que provocan el lenguaje, y que terminan traducidos en líneas más o menos homogéneas cuyo conjunto deriva en los llamados ‘enunciados’; el objeto fue el más próximo, la propia Lengua. Para tal acometida se construyó ‘otro lenguaje’, el de la ciencia (si bien hay que admitir el escaso cientificismo de la mayoría de las aproximaciones efectuadas), y Gramática pasó a significar ‘Lenguaje Artificial para la descripción de las Lenguas Nacionales’ —o equivalentes (dialectos).
A ver, pasemos en limpio:
• Lenguaje (capacidad desarrollable de las especies para comunicarse y crear su propio entorno).
• Gramática ‘A’ (dispositivo cerebral que impulsa las particularidades de esa capacidad en los humanos).
• Lengua (usufructo de tal capacidad por parte de cada cultura, con sus distintivas inscripciones y caracterizaciones).
• Gramática ‘B’ (descripción de las lenguas particulares).
Ahora bien, si el ‘lenguaje natural’ es la denominación que se otorga a aquellos sistemas simbólicos no creados adrede sino fruto de las condiciones genéticas en que se producen, por oposición a ‘lenguaje formal o artificial’, que es aquel constructo generado a partir de la necesidad de dar cuenta de determinado asunto, la Gramática es Lenguaje Natural en ‘A’ y Lenguaje Artificial en ‘B’, y en esta dualidad deja de referirse tanto al dispositivo como a la lengua de que se trate, con lo que se convierte en algo así como Gramática ‘C’, que apunta a ser el Núcleo Duro al que debe aspirar todo estudio serio sobre el lenguaje en general: estamos queriendo decir que remite a la ciencia abocada a tal estudio, la Lingüística. Con lo que:
• Lenguaje …
• Gramática ‘A’ …
• Lengua …
• Gramática ‘B’ …
• Gramática ‘A’ + Gramática ‘B’ = Gramática ‘C’ (Lingüística)
Claro, si esa ciencia se ocupara sólo de ‘A’ sería más bien una rama de la Biología, una Psicología Genetista del lenguaje; si se ocupara sólo de ‘B’ (como se han confundido a menudo sus propósitos) sería la Lingüística del ‘español’, o del ‘francés’, o del ‘calchaquí’.
Los que deben interesar son el fenómeno propulsor (el Estado Inicial) y su corporización concreta en alguna lengua, como Modelo de verificación (el Estado de Llegada). Lo que se encuentre en los embriones forjadores del Estado de Llegada, antes de convertirse en Léxico y Discurso, será tomado como Postulado de Universalidad (llevará a pensar que cualquier ser humano está destinado a que esos embriones germinen, sea futuro hablante del japonés o del congoleño).
La Morfosintaxis se presenta como el vehículo a través del cual su estudio confiará, aproximándose a una lengua en especial, en hacerlo a la naturaleza de todas las otras. Pues el desarrollo ‘artificial’ de lo ‘natural’ queda en manos de un programa de acciones sobre el fenómeno de la emisión que llegue a decir qué es en sus niveles de superficie y que puede llegar a ser en sus subyacencias. Y tal programa se vuelve factible en una sintaxis (o morfosintaxis, en tanto vínculo entre forma y utilidad, entre leyes de comprobación y partículas aprobatorias de esas leyes). Si bien el orden del mundo es cultural, y la cultura es singular y por lo mismo dueña de una lengua que estatuye entre otras cosas su pecularidad, la (morfo)sintaxis parece ser un abrevadero común para la instalación en las lenguas de cierto orden de consumación de sus elementos.
Más allá de las posiciones que les toque a los ítems respectivos, y de sus diferentes modos de enlace, la (morfo)sintaxis nos habla de enlaces y posiciones, razón suficiente para otorgarle primacía en su calidad de Postulado de Universalidad.
Abordar cómo son esas posiciones y esos enlaces en el ‘español’ constituirá la toma de partido por las Posibilidades de Ocurrencia, en esa lengua, de los entramados generadores del lenguaje en el ser humano.
Se trata entonces de intentar un sistema de acceso a la construcción del lenguaje, la cual se vuelve efectiva por vías de un dispositivo interno llamado Gramática.
Tal sistema constituye una subteoría gramatical, consistente en principios y métodos de análisis. Su fundamento filosófico es que todo lo que sucede en el enunciado está destinado a suceder: se trata, pues, de MUNDOS POSIBLES –MP– contenidos en las unidades verificables como facultad realizada o no.
Para consolidar la subteoría es preciso confeccionar una Metateoría capaz de explicar cómo se han alcanzado las soluciones propuestas, y que a la vez esté en condiciones de aceptar contraejemplos y confrontación con otras teorías.
Epistemológicamente, la Gramática es en sí inalcanzable, pues se trata de una propiedad genética cerebral/mental, y por lo tanto el gramático debe ser consciente de que trabaja con un instrumento de aproximación a esa propiedad, el cual por generalidad de aspectos, como vimos, se conoce con el nombre de Morfosintaxis. Su desenvolvimiento en el marco social, o sus distorsiones orgánicas y conductas especiales, las especulaciones en torno de sus valores y desencadenantes en la vida personal, sus registros zonales o históricos, y demás concomitancias, deben caer bajo el dominio de disciplinas anexas que se ocupan del lenguaje de manera periférica: la Sociolingüística, la Neuro y Psicolingüística, la Filolingüística, la Geografía Lingüística y Etnolingüística, en fin, la Antropología y las ‘Ciencias del hombre’ con arreglo hacia un estrechamiento de lazos con las Ciencias llamadas ‘naturales’ (como hemos tratado de decir en esta breve exposición), al modo del generativismo en Lingüística, operando prácticamente con fórmulas matemáticas para la reconstrucción de las propiedades gramaticales innatas.
4. "primero fui best seller en Exactas"
Entrevista a Guillermo Martínez *
por Liber Aparisi
Estamos en Belgrano y subimos al primer piso vacío de esta casa de estilo devenida en confitería moderna. Pide un café. En minutos está en medio de la producción fotográfica. Es muy amable, sobrio y agradable. Se interesa por la nota y en broma, haciéndome el ofendido, le pregunto:
... Te retiraste de las matemáticas?
No, no tiene que ver con una decisión contra la matemática, para nada. Al contrario, siempre lo dije, estoy muy agradecido por esta especie de mirada adicional que da cualquier disciplina científica, es como una manera diferente de ver y de estar en el mundo.
Tiene que ver simplemente con la lista de espera de los libros que tengo y el hecho, de que estoy por cumplir cuarenta y cinco años y me hace pensar en la necesidad de concentrar esfuerzos. Además en los últimos años tuve que invertir mucho tiempo también en viajar por el tema de los libros y las traducciones y me parece como más agradable en este momento de disponer el tiempo de esa manera. Después de muchos años de estar en la literatura puedo ahora vivir de mis libros, este tipo de factores hicieron que tomara esa decisión.
Imaginamos al escritor trabajando y lo que eso conlleva de soledad. Pero el matemático también, no? Cómo hacías para armar esas dos vidas en una?
Bueno, durante mucho tiempo fue así. Trataba de utilizar muy bien las vacaciones de verano ó bien en periodos largos, las mañanas. Pero inevitablemente cuando uno tiene una actividad pautada, rentada, de la que te exigen informes académicos, etc., cuando uno tiene alumnos de doctorado, ó tiene que evaluar proyectos y hacer sus propios trabajos de investigación siempre se reciente la parte mas débil, que es la parte del tiempo libre que uno le deja a la literatura. Quería revertir esa situación y poner en primer lugar, darle prioridad, al tiempo para la literatura. Lo hice en un principio a costa de sacrificar horas de la investigación. Y en este momento por el tipo de proyecto de trabajos que tengo por delante me siento más tranquilo, incluso con mi conciencia profesional, directamente dando un paso al costado en la matemática.
¿Pensaste en dar el paso al costado en la literatura?
Mientras estuve en Inglaterra. Fueron dos años, que prácticamente no escribí y lo sentí muchísimo. Es decir, me cuesta muchísimo mas trabajo pensar en sacrificar la literatura que en sacrificar la matemática. De hecho, igual no siento que me alejé para siempre de la matemática, tengo un proyecto, justamente con Gustavo Piñeiro de escribir un libro sobre el teorema de Gödel, en base a resultados sobre los que estuvimos trabajando mucho en los últimos años. Es un libro que de algún modo me va a mantener en contacto, pero desde un lugar un poco más tranquilo, sin exigencias diarias ó mensuales.
Ya te sentías reconocido como escritor dentro de la facultad?
Creo que el primer lugar donde fui best seller fue en Exactas. Si, me leían y fue el gran espaldarazo. Tengo la sensación de que crímenes imperceptibles de algún modo, explotó, como se dice en la jerga editorial, gracias a la gente de Exactas que lo compró.
Creo que me habían leído antes, pero como mis libros aparecieron pocos a lo largo de muchos años, lo consideraban, y hasta en cierto punto lo hacia yo, como un hobby espaciado. Recién creo que yo mismo me empecé a sentir un escritor después que éste libro tuvo tanto éxito.
Ayudanos a los lectores de la revista con ésto: ¿Por qué los alumnos fallan en matemática?
Tengo una teoría un poco extraña, que es que la matemática entra en un momento equivocado, en general, en la vida de los chicos. No significa que no haya chicos dotados especialmente para las matemáticas desde muy temprano, pero me parece que en los primeros años del colegio primario es a la vez, el momento en que los chicos de esa edad aprenden mejor que cualquier adulto las habilidades que tienen que ver con las destrezas físicas, los deportes en particular, con la música y los instrumentos, que de algún modo involucra la destreza manual y los idiomas.
Para mí, una educación razonable tendría que hacer hincapié en esos años primeros, en esas habilidades. Y la parte de la matemática desarrollarla a través de juegos como el ajedrez, juegos que están en las inmediaciones del pensamiento y que ayudan a lo que es la concentración, ayudan a lo que es la anticipación, el planteo de problemas, el desarrollo de estrategias. Juegos que tengan un espíritu, un aire matemático, así enseñaría yo la matemática en los primeros años.
Y algo así intentan hacer en Inglaterra. No se preocupan demasiado por los contenidos de la educación hasta que los chicos no tienen nueve años y en los últimos años les enseñan todos los contenidos. En vez de repetir las tablas todos los años las enseñan una vez cuando son más grandes. Y les enseñan mucho mas en los últimos años que en los años anteriores, pero mientras tanto se va formando de algún modo como esa especie de maduración de lo abstracto que requiere lo matemático.
Me parece que el primer encuentro con la matemática debería resultarle a los chicos fácil, familiar, agradable como puede resultar una materia como la literatura. Si los chicos escucharan cuentos desde que son chiquitos a la noche y llegan a la escuela y de pronto escuchan un cuento, bueno, es algo que esta dentro de un mundo familiar que les resulta agradable.
Hay toda una parte de la matemática que tiene que ver con darles a entender a los chicos ó mostrarles, cómo también la matemática está ligada con la vida. Creo que ese es el gran aporte que intentan hacer libritos como el de Paenza (Adrián Paenza, ¿Matemática… estás ahí? 2005)
Ó como el de Pablo Amster, la matemática como una de las bellas artes; y Toda la colección Ciencia que ladra (dirigida por Diego Golombek, Siglo XXI editores)
Claro, mostrar como hay una vinculación natural. Y te diría incluso, desde el punto de vista práctico y también desde el punto de vista filosófico hay toda una manera de pensar en cosas de la vida diaria que tienen que ver, y aún en cuestiones puramente lógicas, con una mirada científica. Que el algunos no es lo mismo que el para todos. El hecho de que se verifique el n=1, n=2, n=3 no significa que se verifique para todo n. Son las verdaderas herramientas que uno puede recoger de la ciencia para todo, para la política, las discusiones, esos mínimos elementos de racionalidad que no están en la práctica diaria.
Lo mismo ocurre en un curso de matemática, ocurre con las raíces resolubles por radicales de polinomios. Hay métodos de resolución de grado 1, de grado 2, grado 3, grado 4, pero de grado 5 ya no hay métodos generales. Pero vos ya no podes explicarle eso a un chico, pero este ejemplo que hicimos antes sí se lo podes explicar. Y de algún modo es el mismo tipo de concepto: Cuidado con la manera en que se hace inducción, cuidado con el método de inducción.
¿Cómo fue lo tuyo en la secundaria?
Matemática fue la materia en la que peor me iba, sin ninguna duda.
...ya tengo el título!
Sí, sin ninguna duda. No me iba mal, pero para las demás materias tenia una especie de afinidad inmediata, me daba cuenta inmediatamente como eran las líneas generatrices de lo que estaba estudiando y en cambio en la matemática no tenía eso. Nunca me sentí un matemático nato. Seguro hay un don matemático, indudablemente, incluso lo vi en uno de mis compañeros, de una facilidad, de una intuición acorde a la disciplina. Te juro que me sentaba y no estudiaba casi nada, porque en la secundaria me interesaba el tenis.
(...)
Prácticamente en toda la secundaria me dediqué a jugar al tenis, y un poco al ajedrez, un par de años. Lo intenté. Llegué a jugar los Nacionales pero no tenía ni de lejos la envergadura física que hay que tener como para ser tenista, entonces perdía inmediatamente. Pero si me dediqué de una manera absoluta.
Entonces… Mejor la matemática
Cuando empecé la Universidad si me gustó la matemática y sobre todo una materia, creo que de álgebra en el fondo, pero que se hablaba de los diversos tipos de infinito, de las paradojas lógicas. Ahí fue que encontré como un pasaje de la matemática y la filosofía, de la matemática y la lógica. En Bahía Blanca había una Escuela de Lógica importante y me enteré de algo que se llamaba la lógica matemática. Borges decía que había personajes en las mil y una noches que se enamoraban de una mujer sólo por escuchar su nombre, bueno, a mí me pasó algo así con la lógica matemática, solamente de escuchar la idea que yo me hice, me pareció que era algo formidable, que debería ser algo muy interesante para hacer. Entonces me dediqué a estudiar esos temas, me fue realmente bien en esa área. Dentro de la matemática hay ramas muy diferentes con herramientas muy distintas, con intuiciones distintas, y creo que tenía cierta intuición mejor con respecto a esta rama de la lógica.
¿Probaste en otra área?
No, siempre me mantuve dentro del área de la lógica…
Guillermo, cuáles son tus matemáticos favoritos?
Es difícil porque no tengo como un panorama de toda la obra de un matemático. Me impresionó mucho un matemático que venía a la Argentina que se llama Daniel Mundici. Pero lo que me impresionó mucho fue, no solamente en su manera, su cultura matemática y profundidad, la manera de exponer las ideas. O sea que ese es un tipo de matemático que también me resulta interesante. Venía a dar seminarios y cursos. Se especializó en lo que se llama las M. V.-Álgebras. Pero sobre todo, me gustaba conversar con él, conversé varias veces, y me gustaba la manera en que se apropiaba de los temas e inmediatamente podía pensar a la par de lo que uno sugería e ir más allá y hacer las preguntas. Ese es el tipo de matemáticos que yo admiro.Muchos matemáticos tienen esa particularidad, pero bueno, a mí me tocó trabajar con él.
Habría muchos, pero no puedo pensar en un matemático clásico porque no he seguido toda la trayectoria de ningún matemático clásico, salvo Gödel. Pero Gödel tiene unos pocos trabajos, no era un matemático tan completo.
¿Cuál va a ser tu teorema imposible de demostrar?
Tengo una especie de proyecto imposible. Por el tiempo que me llevaría pero que me hubiera gustado hacer, que es reproducir el tipo de reflexión que hace Ludwig Wittgenstein en las observaciones filosóficas en el área de la crítica literaria. Mas específicamente en la reflexión de qué es lo que hace que uno le guste ó no le guste un texto. En Wittgenstein hay una aproximación al problema del lenguaje y el conocimiento a través del lenguaje desde una posición aparentemente naif, y en principio es completamente naif, y solamente por los obstáculos lógicos que se van planteando a medida de que él trata de analizar de que manera se articula el lenguaje, de que manera lo aprende un niño, de que manera las palabras son realmente lo esencial del lenguaje, los conectivos, etc. A mí me gustaría llevarlo al plano de la crítica literaria. Y ahí creo que podría hacer un uso indirecto y extraño de algunos saberes lógicos.
¿Una biografía imperdible?
La de Philip Dick por Emmanuel Carrére (“Yo estoy vivo y ustedes están muertos. Philip Dick 1928-1982”, 2002), es un libro extraordinario. Además creo que en Philip Dick hay algo que tiene que ver con la ciencia ficción y a cualquier persona con un interés científico le va a parecer esa biografía extraordinaria.
¿Ajedrez o Go?
Al Go he jugado, pero la verdad jugué muy poquito en mi adolescencia, recuerdo haber aprendido un poco las reglas en un momento pero después me olvidé todo. Y recuperé algo del espíritu del Go con la novela El maestro de Go de Kawagata (Yasanari Kawagata, 1951) y de ahí saqué alguna idea para esta novela que terminé ahora.
¿Coleccionas algo?
No
¿..Nada?
(piensa) ...Sólo los libros que van apareciendo traducidos.
* Guillermo Martinez Autor de la novela policial Crímenes imperceptibles, con la que ganó el premio Planeta en 2003. Convertida en best seller fue traducida a mas de 30 idiomas. Sólo en Inglaterra, ciudad donde transcurre la historia se vendieron 100.000 libros. El director Alex de la Iglesia eligió para llevarla a la pantalla grande, la producción llevará por título los Crímenes de Oxford tal como fue el nombre del libro en España. Guillermo Martinez es doctor en Matemática y nació en Bahía Blanca.
Fotografía de Mariana Ruddock http://www.cameroniruddock.com.ar
5.- INTUICIÓN Y VERDAD
Prof. Gustavo Piñeiro
1. Introducción: el enfoque gráfico
Cuando se enseña Análisis Matemático, más precisamente cuando se dicta un curso de Análisis I, es común apoyarse fuertemente en la intuición geométrica. Muchas veces, al plantear definiciones o demostraciones, se apela a lo que aquí llamaremos la “intuición dibujística”, es decir se recurre al gráfico como herramienta principal de la definición o del razonamiento en cuestión. Por ejemplo, es común que se diga que una función continua es aquella “cuyo gráfico se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel”. Las discontinuidades coinciden, según esta idea gráfica, con aquellos puntos en los que nos vemos obligados a levantar el lápiz del papel, tal como sucede por ejemplo en x = 0 para la función f(x) = . Posteriormente suele darse una definición más formal basada en la noción de límite, pero el concepto “dibujístico” inicial nunca es abandonado.
Este enfoque gráfico no es para nada criticable, muy por el contrario, una aproximación gráfica intuitiva permite una mejor asimilación de los conceptos por parte de los alumnos. Por otra parte, este enfoque está totalmente de acuerdo con el desarrollo histórico de los conceptos, pues el Análisis fue inicialmente una herramienta para el estudio de curvas en tanto que objetos geométricos y sólo mucho después se transformó en el estudio de funciones.
¿Pero deben los docentes quedarse únicamente con esta visión “dibujística” del Análisis? ¿Es la intuición geométrica suficiente para todos los fines? ¿Es realmente suficiente para distinguir la verdad de la mentira (al menos en el Análisis, ya que seguramente no en otros órdenes de la vida)?
La intención en estas líneas es mostrar que el enfoque gráfico es insuficiente para distinguir cuáles afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Como método de razonamiento puede llevarnos a conclusiones erróneas. Está muy bien usar el método “dibujístico” como herramienta para la enseñanza, pero sería un grave error que el docente creyera que ese enfoque bastará para comprender adecuadamente todos los conceptos del Análisis (aun conceptos aparentemente tan sencillos como la noción de función continua). Presentaremos en estas líneas algunos ejemplos en los que se verá cómo la noción gráfica puede engañarnos.
2. El Teorema de Bolzano
Una propiedad fundamental de las funciones continuas es el llamado Teorema de Bolzano, que afirma que: si f : [a,b] ® R es una función continua tal que f(a) y f(b) tienen distinto signo (es decir, f(a) es positivo y f(b) es negativo, o viceversa) entonces existe algún c Î (a,b) tal que f(c) = 0. Tomemos la definición “dibujística” de la noción de continuidad y veamos, a modo de ejemplo, un razonamiento que justifique este teorema.
Supongamos que f(a) <> 0 (si los signos fuesen al revés el razonamiento es igual). Gráficamente, que f(a) < x =" a"> 0 significa que en ese punto el gráfico está por arriba del eje x. Que f(c) = 0 quiere decir que en x = c el gráfico corta al eje x.
La traducción gráfica del Teorema de Bolzano (para el caso en que f(a) <> 0) es entonces la siguiente: si en x = a el gráfico de f está por debajo del eje x y en x = b está por encima, entonces existe algún punto entre a y b donde el gráfico corta al eje x.
La demostración gráfica es inmediata: si en x = a el gráfico está por debajo del eje x y en x = b está por encima y además no hay saltos (porque la función es continua) entonces, inevitablemente, la curva tuvo que cortar al eje en al menos un punto. En cualquiera de esos puntos de corte tenemos un valor de c en el que f(c) = 0.
¿Es correcto este razonamiento? Todos estaríamos tentados de decir que sí y ninguno de nosotros, puestos en el trance de enseñar Análisis I, dudaría en usarlo para justificar el Teorema de Bolzano. Más aún, el autor de estas líneas, docente de Análisis Matemático en el CBC de la UBA, ha usado la definición “dibujística” de continuidad citada más arriba así como el razonamiento que acabamos de exponer para justificar el Teorema de Bolzano.
Pero si este razonamiento es correcto, ¿por qué muchos libros de Análisis (especialmente los buenos libros de Análisis) suelen demostrar el Teorema de Bolzano de una manera mucho más complicada y menos intuitiva? (Véase por ejemplo Kuratowski, citado en la bibliografía) ¿Por qué se apela a pruebas complicadas, siendo que el argumento gráfico es tan claro e intuitivo? ¿Por pura maldad? ¿Puro rebuscamiento? ¿Excesivo amor al rigor lógico? La respuesta es que se apela a razonamientos no “dibujísticos” porque, como anticipamos más arriba, esos razonamientos son engañosos, traicioneros, pues así como sirven para convencernos fácilmente de afirmaciones verdaderas, con la misma facilidad pueden convencernos de afirmaciones que son completamente falsas.
A modo de ejemplo, vamos a exponer cuatro afirmaciones de Análisis I. Cada una de estas afirmaciones será “demostrada” mediante un razonamiento “dibujístico” similar al que expusimos para el Teorema de Bolzano. Sin embargo, al menos una de esas afirmaciones es falsa. Es decir, daremos al menos un razonamiento que nos convencerá de algo que es falso.
Invitamos a los lectores a que, después de que leer cada ejemplo, intenten determinar si la afirmación que se enuncia es verdadera o falsa. En la séptima sección diremos cuáles de las afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.
3. Primer ejemplo
Primera afirmación: toda función continua es derivable, excepto eventualmente en un conjunto aislado de puntos.
Antes de ser “demostrada”, esta afirmación requiere alguna explicación. Desde el punto de vista “dibujístico”, una función es derivable si su gráfico es suave, es decir, si no tiene ángulos ni vértices. En los puntos donde aparecen esos ángulos la derivabilidad falla. Por ejemplo, es bien sabido que la función f(x) = x no es derivable en x = 0. Esto se observa claramente en el dibujo, pues en x = 0 el gráfico en forma de V del módulo tiene un vértice bien visible:
(Nótese, por otra parte, que la función sí es derivable en cualquier otro punto y que su derivada vale 1 si x > 0 y –1 si x < s =" 1" r =" 0,5" t =" 1,5" s =" 1,5;" style="" href="http://www.blogger.com/rearrange?blogID=3689132193383213256&action=editWidget§ionId=footer&widgetType=Text#_ftn11" name="_ftnref11" title="">[10]
Es interesante notar que es muy difícil, por no decir imposible, imaginar correctamente el gráfico de esta función, que se parece a una nube horizontal de puntos a la altura de y = 1 y una nube similar, aunque no idéntica, a la altura de y = 0. Puede demostrarse, “dibujísticamente” o formalmente, que esta función es discontinua en todo R, todos los números reales son puntos de discontinuidad de esta función. Tanto el razonamiento “dibujístico” como el formal se basan en el hecho de que entre dos números reales hay infinitos números racionales y también infinitos números irracionales.
La cuarta afirmación dice que es imposible dar una función que sea continua en todos los números irracionales y discontinua en todos los racionales. Una función así tendría totalmente “mezclados” sus puntos de discontinuidad con sus puntos de continuidad y, de hecho, violaría lo afirmado en el ejemplo anterior. Este razonamiento parece probar que una función así no puede existir.
7. Respuestas
Esperamos que los lectores hayan podido reflexionar acerca de cuáles de las cuatro afirmaciones anteriores les parecen verdaderas y cuáles falsas. Pues bien, la respuesta es que las cuatro afirmaciones son falsas. En todos los casos el razonamiento “dibujístico” nos ha engañado.
Mostraremos a continuación contraejemplos para cada una de las afirmaciones. Por razones de espacio no podremos demostrar que, en efecto, cada una de las funciones que mostraremos cumple las propiedades que vamos a atribuirles.
Contraejemplo a la primera afirmación: recordemos que esta afirmación dice que una función continua es derivable excepto tal vez en un conjunto aislado de puntos. Esta afirmación es tan convincente que en 1806 André-Marie Ampère publicó una “demostración” gráfica de ella, que en aquel momento fue aceptada como correcta.
En 1872, en una conferencia ante la Academia de Ciencias de Berlín, Karl Weierstrass mostró un ejemplo de una función que es continua en todo R, pero que no es derivable en ningún punto. Todos los números reales son puntos de no derivabilidad de esta función. Como curiosidad mostremos su fórmula: . Su gráfico es inimaginable, completamente “picudo por todos lados”. Puede encontrarse más información acerca de esta función en http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-06.shtm#MandelbrotWeierstrass.
Contraejemplo a la segunda afirmación: esta afirmación dice que si f : [0,1] ® R es una función continua tal que f(0) = 0 y f(1) = 1 entonces existe algún c donde f es derivable y además en ese punto la derivada es positiva. El contraejemplo en este caso es la llamada Función de Cantor, que se define por pasos sucesivos de la siguiente manera. Para comenzar dividimos el intervalo [0,1] en tres partes iguales, que son los subintervalos .
En un primer paso definimos el valor de f para los x que están en el intervalo central. Para todo definimos . En el segundo paso dividimos cada uno de los dos intervalos de los extremos, es decir , en tres partes iguales y definimos f para cada uno de los dos novenos centrales. Para definimos y para definimos . Y así sucesivamente. Éste es el gráfico parcial de la función después de estos dos pasos:
Al cabo de infinitos pasos, el gráfico tiene un aspecto similar al siguiente:
Los que parecen ser segmentos oblicuos en realidad no lo son, ya que una ampliación de la imagen nos mostraría más segmentos horizontales unidos por aparentes segmentos oblicuos, que a su vez son segmentos horizontales más pequeños y así sucesivamente.
En realidad el gráfico es, más o menos, un “pegoteo” de segmentos horizontales. Puede demostrarse que la Función de Cantor (también llamada Escalera del Diablo) es continua, que f(0) = 0, f(1) = 1, no es derivable en todos los puntos del intervalo [0,1], y que en todos los puntos donde es derivable, la derivada vale 0. Nunca la derivada es positiva. Más información sobre esta función se puede encontrar en http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-05.shtm#EscaleraDiablo.
Contraejemplo a la tercera afirmación: esta afirmación dice que si f : R ® R es continua en un punto entonces es continua en todo un intervalo alrededor de ese punto. Un contraejemplo para esta afirmación es la siguiente:
Puede demostrarse que esta función es continua únicamente en x = 0 y en ningún otro punto.
Contraejemplo a la cuarta afirmación: esta afirmación dice que es imposible definir una función f : R ® R que sea continua en todos los números irracionales, pero discontinua en todos los racionales. Vamos a exhibir una función que sí cumple las condiciones indicadas.
Recordemos que todo número racional se puede escribir como una fracción , donde a y b son números enteros. Si ponemos la condición adicional de que b > 0 y que el máximo común divisor de a y b sea igual a 1, entonces la escritura como fracción es única. Podemos definir entonces la siguiente función:
Puede demostrarse que esta función es continua en todo número irracional y discontinua en todo racional.
8. Conclusión
¿Por qué fallan los razonamientos “dibujísticos”? ¿Por qué es tan fácil ser engañados por ellos? Una respuesta posible, aunque seguramente sólo parcial, es la siguiente. Cuando pensamos en el gráfico de una función solemos pensar en curvas como ésta:
Gráficos suaves, curvas bien visibles. Pero los gráficos, aun de las funciones continuas, pueden ser mucho más complicados de lo que podemos imaginar. El gráfico de la Función de Cantor, mostrado más arriba, que es en realidad un fractal, o el gráfico de la Función de Weierstrass, que es también un fractal, son muy difíciles de visualizar en toda su complejidad. No podemos confiar ciegamente en la intuición gráfica. Sólo las demostraciones formales nos dan seguridad de corrección. El razonamiento “dibujístico” es una excelente herramienta para la enseñanza, pero debemos ser plenamente concientes de sus limitaciones.
Bibliografía
GELBAUM, B.; OLMSTED, J – Counterexamples in Analysis – Dover Publications Inc., Nueva York, 1992.
KURATOWSKI, K. – Introducción al Cálculo – Editorial Limusa, México, 1995.
SPRECHER, D. – Elements of Real Analysis – Dover Publications Inc., Nueva York, 1970.
[1] Esta reseña biográfica, toma referencias de: Cervantes, Erika: “HYPATIA DE ALEJANDRIA, LA PRIMERA MUJER MATEMATICA DE LA HISTORIA (CIMAC)* (15/11/2004)
* Cervantes, Erika; Reportera de Agencia Comunicación e Información de la Mujer (CIMAC), México.
[2] Sagan, Carl: “COSMOS”.
[3] Heath, T. L.: “A History of Greek Mathematics”, (2 Vols.). Oxford, (1921).
[4] Llamadas así porque pueden obtenerse cortando un cono en diferentes ángulos. Dieciocho siglos mas tarde Johannes Kepler utilizaría la versión de Teón e Hypatia de los escritos de Apolonio sobre las secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola) para comprender por primera vez el movimiento de los planetas.
[5] Biografía de Hypatia; en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
[6] Heath, T. L.: “A History of Greek Mathematics”, (2 Vols.). Oxford, (1921).
[7] El paréntesis es del autor
[8] Sagan, Carl: “COSMOS”.
[9] El paréntesis es del autor
Una Revista de Profesores y Futuros Profesores,
del CAIE del I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”.
Año I, Nº 1.
Septiembre de 2.007
ÍNDICE
1. NOTA EDITORIAL (Equipo de Redacción)
2. Historias: HYPATIA, la FILÓSOFA, RESEÑA BIOGRÁFICA. (Carlos Trapani)
3. Letras: LA GRAMÁTICA DE LOS MUNDOS POSIBLES (Gustavo Manzanal)
4. Entrevistas: GUILLERMO MARTÍNEZ (Liber Aparisi)
5. Ciencias: INTUICIÓN Y VERDAD (Gustavo Piñeiro)
hypatia.lafilosofa@gmail.com
Coordinador del Caie del I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”: Carlos Trapani
Equipo de Redacción:
Liber Aparisi
Gustavo Manzanal
Gustavo Piñeiro
Pablo Federico Rodríguez
Carlos Trapani
1.- HYPATIA, la filósofa: EDITORIAL
Esta nota editorial, como todas, está circunstanciada. Este proyecto colectivo busca la luz en los primeros días de Junio de 2007, en la Ciudad de Buenos Aires, por la iniciativa y labor autónoma de profesores y futuros profesores del I.E.S. Nº 2 “Mariano Acosta”. Estas son nuestras circunstancias. Y las circunstancias connotan las acciones desde el contexto…
Pero ¿cuáles son las connotaciones provenientes de nuestro contexto? Una de ellas, la reciente elección de autoridades y legisladores para la Ciudad. Ante ella, los medios masivos de comunicación instalaron como posibles opciones sólo tres candidaturas, cuyas semejanzas son tan evidentes que la búsqueda de diferencias carecería de significado práctico. Habría que utilizar una lupa para encontrar matices diferenciales en los grados de responsabilidad o complicidad con el proceso de devastación de la educación pública intensificada desde la época de los ´90, y que aún perdura y predomina. La “elección” se limitó entonces, a optar por cuál de los tres “candidatos” va a continuarla.
Hay que reconocer, sin embargo, que la imposición mediática de esta triple alianza fue facilitada por la ausencia o debilidad de proyectos políticos -sociales y educativos- distintos al actual y con capacidad de superarlo.
Circunstancias que, como en la Alejandría de los tiempos de Hypatia, a los educadores y amantes de la sabiduría nos comprometen en la tarea de volver a pensar y expresar una opción ética en la que habremos de contribuir a la formación cultural que legamos a las generaciones que vienen.
Tal vez, como en vida de Hypatia, queden todavía –aunque des-cuidados– trabajadores intelectuales valiosos y espacios públicos accesibles para todos, para aprender, enseñar y producir conocimientos. Sabemos que hubo y hay educadores que ennoblecen nuestra profesión, no resignándose ante la fuerte tendencia a la destrucción de lo público. Vaya a ellos, con este proyecto, nuestro sincero reconocimiento y gratitud.
Pero no es suficiente, si se trata de compartir el camino de realización de sueños igualitarios. Para que la Educación Pública sobreviva y avance, los educadores y futuros educadores tendremos que sostener otra actitud política. Antes que -como en el desenlace de la vida de Hypatia- la política imperante logre acertar… y dar con el próximo techo en nuestras cabezas.
2.- HYPATIA DE ALEJANDRIA, LA FILÓSOFA. LA PRIMERA MUJER MATEMATICA DE LA HISTORIA[1]
Prof. Carlos Trapani
“Defiende tu derecho a pensar…
porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar”.
Hypatia de Alejandría.
En Alejandría, durante los seiscientos años que se iniciaron hacia el 300 a.n.e., comenzó una aventura intelectual que ha llevado más allá de los límites del espacio físico conocido antes y de las ideas heredadas hasta entonces. Pero no queda nada del paisaje y de las sensaciones de aquella gloriosa ciudad de mármol. La opresión y el miedo al saber han arrasado casi todos los recuerdos de la antigua Alejandría[2]. Su población tenía una maravillosa diversidad. Soldados macedonios y más tarde romanos, sacerdotes egipcios, aristócratas griegos, marineros fenicios, mercaderes judíos, visitantes de la India y del África subsahariana. Todos ellos -excepto la vasta población de esclavos- vivían juntos en armonía y respeto mutuo durante la mayor parte del período que marca la grandeza de Alejandría.
La ciudad fue fundada por Alejandro Magno y construida por su antigua guardia personal. Alejandro estimuló el respeto por las culturas diversas y una búsqueda sin prejuicios del conocimiento. Animó a sus generales y soldados a que se casaran con mujeres persas e indias. Respetaba los dioses de todas las culturas. Coleccionó formas de vida exóticas, entre ellas un elefante destinado a su maestro Aristóteles. Su ciudad estaba construida a una escala suntuosa, porque tenía que ser el centro mundial del comercio, de la cultura y del saber. Estaba adornada con amplias avenidas de treinta metros de ancho, con una arquitectura y una estatuaria elegante, con la tumba monumental de Alejandro y con un enorme faro, en la Isla de Faros, una de las siete maravillas del mundo antiguo.
Pero la maravilla mayor de Alejandría era su Biblioteca y su correspondiente Museo (en sentido literal, una institución pública -Estatal- dedicada al cultivo de las Ciencias y las Artes de las Nueve Musas). De esta biblioteca legendaria, lo máximo que sobrevivió fue un sótano húmedo y olvidado del Serapeo anexo de la biblioteca, que originariamente fue un templo consagrado a honrar al conocimiento.
Sin embargo, Alejandría fue en su época la mayor Ciudad del planeta, sede del primer auténtico Instituto de Enseñanza e Investigación Científica en la Historia (del tipo de los que hoy llamamos `Universidad´). Los eruditos de la biblioteca estudiaban el Cosmos. Cosmos es una palabra griega que significa “el orden del universo”. Es en cierto modo lo opuesto a Caos. Presupone el carácter profundamente interrelacionado de todas las cosas. Inspira admiración ante la intrincada y sutil configuración del universo. Había en la biblioteca una comunidad de eruditos que exploraban la física, la literatura, la medicina, la astronomía, la geografía, la filosofía, las matemáticas, la biología y la ingeniería. La ciencia y la erudición habían llegado a echar raíces. El pensamiento florecía en aquellas salas. La Biblioteca de Alejandría es el lugar donde los hombres reunieron por primera vez -y de modo fundamentado y sistemático- el conocimiento del mundo.
Hypatia fue la primera mujer que hizo contribuciones sustanciales al desarrollo de la matemática. Nació alrededor de 370 (¿?) en Alejandría. Su padre fue un prominente matemático y astrónomo llamado Teón, quien supervisó la formación de la hija y la educó en un ambiente de pensamiento, decidido a que se convirtiera en 'un ser humano perfecto', en una época en que se solía considerar que las mujeres eran menos que humanas, y desarrolló para ella una preparación física e intelectual intensa a fin de asegurarle un cuerpo saludable y una mente muy lúcida. Teón instruyó a la hija en el conocimiento de las diferentes religiones del mundo y le enseñó las filosofías de los Clásicos Griegos, el dominio de la lógica y la oratoria, así como los principios del aprendizaje y el arte de la enseñanza, lo cual motivó que personas de otras ciudades vinieran a estudiar con ella.
Luego, Hypatia viajó a Grecia y a Italia, y todos los que la trataron quedaron impresionados por su inteligencia y su belleza. Al volver a Alejandría, se dedicó a la enseñanza de la Matemática y la Filosofía. Enseñaba a miembros de todas las religiones, y fue titular de una cátedra pública de Filosofía. Según el enciclopedista bizantino Suidas, 'fue oficialmente nombrada para explicar las doctrinas de Platón y Aristóteles'. Los estudiantes iban a Alejandría para asistir a las clases de Hypatia sobre Matemática, Astronomía, Filosofía y Mecánica. La mayoría de los escritos de Hypatia fueron libros de texto para sus estudiantes. Ninguno ha permanecido intacto, pero diversos fragmentos de su obra están incorporados en los tratados existentes de Teón, con quien compartía la escritura.
Hay alguna información sobre sus talentos -filosofía, astronomía y matemática- en las cartas de su dilecto alumno y discípulo Sinesio de Cirene, cristiano rico y poderoso, obispo de la ciudad Ptolemaica. No hay evidencia de que Hypatia haya hecho investigación original en matemáticas. Sin embargo, asistió a su padre, Teón, al escribir con él los once volúmenes de su “Comentario al Almagest” célebre obra astronómica de Ptolomeo. También compartió con él la producción de una nueva versión de los “Elementos de Euclides” que se ha convertido en la base para todas las ediciones posteriores. Heath[3] escribe sobre la edición de Teón e Hypatia de los Elementos que: “... aunque hacen solamente adiciones poco importantes al contenido de los 'Elementos', se esforzaron por eliminar las dificultades que podrían encontrar los estudiantes en el libro, como haría un profesor moderno al revisar un libro de texto clásico para ser usado en las escuelas; y no hay duda alguna de que su edición fue aprobada por sus alumnos en Alejandría, para quienes fue escrita, así como por generaciones de griegos que lo usaron ampliamente ...”
Además del trabajo en conjunto con su padre, Suidas nos informa que Hypatia escribió en forma autónoma “Comentarios sobre la Arithmetica de Diofanto” y “Comentarios sobre las Cónicas de Apolonio” 2. Algunos epistemólogos recientes y contemporáneos consideran que el trabajo matemático más importante de Hypatia es su “Comentario sobre la Aritmética de Diofanto”, en 13 tomos. Diofanto vivió y trabajó en Alejandría en el siglo III y fue considerado el 'Padre del Álgebra'. Desarrolló soluciones para las ecuaciones indeterminadas, es decir, ecuaciones con soluciones múltiples. También trabajó con ecuaciones cuadráticas. Los “Comentarios” de Hypatia incluían soluciones alternativas y trataban sobre muchos problemas nuevos, que luego fueron incorporados a las sucesivas ediciones de los “Comentarios sobre la Aritmética” de Diofanto y a los “Comentarios sobre las Cónicas” [4] de Apolonio.
También dictaba clases de filosofía, enseñando de modo especial la Filosofía Neoplatónica[5]. Hypatia basaba sus teorías en las de Plotino, el fundador del Neoplatonismo, y de Iámblico, uno de los pensadores más amplios de esa vertiente, alrededor del año 300. Hypatia enseñó estas ideas filosóficas con un énfasis científico mayor que los seguidores anteriores del Neoplatonismo. Todos los comentaristas la describen como una maestra carismática.
Además de la Filosofía y la Matemática, a Hypatia le interesaron la Mecánica y la Tecnología. En las cartas a Sinesio están incluidos sus diseños para varios instrumentos científicos, incluyendo un astrolabio plano. Hypatia también desarrolló un aparato para la destilación del agua, un hidrómetro graduado de latón para medir el nivel del agua y un densímetro, instrumento para determinar la densidad específica de los líquidos.
Hypatia llegó a sintetizar filosofía y ciencia en sus prácticas de enseñanza, lo que los primeros cristianos identificaban con paganismo. Sin embargo, entre los alumnos a los que enseñó había muchos cristianos importantes. Uno de ellos, ya mencionado, es Sinesio de Cirene, quien después sería obispo de Termópolis, alejado de Alejandría. Se conservan muchas de las cartas que Sinesio escribió a Hypatia y vemos en ellas a alguien que estaba lleno de admiración y respeto por las habilidades científicas y didácticas de Hypatia.
En el 412, Cirilo se convirtió en patriarca (Arzobispo) de Alejandría. Sin embargo, el prefecto romano (Gobernador) de Alejandría era Orestes y ambos se convirtieron en acérrimos rivales en la eterna lucha por el poder político y el control social entre la Iglesia y el Estado. Hypatia era amiga y asesora de Orestes y esto, junto con los prejuicios contra sus posiciones filosóficas laicas, consideradas paganas por los cristianos, hicieron que Hypatia se convirtiera en el punto central de las luchas entre cristianos y no-cristianos. Hypatia, escribe Heath[6]: “... por su elocuencia y autoridad (...) logró una influencia tal que la cristiandad se sintió amenazada...”
La Alejandría de la época de Hypatia -bajo dominio romano desde hacía ya tiempo- era una ciudad que sufría graves tensiones. La esclavitud había agotado la vitalidad de la sociedad antigua. La naciente Iglesia Cristiana estaba consolidando su poder e intentando “extirpar” la influencia de la cultura pagana (politeísta, en especial, griega). Hypatia quedó en el epicentro de estas poderosas fuerzas sociales. Cirilo, el arzobispo de Alejandría, la despreciaba por la estrecha amistad que ella mantenía con Orestes, gobernador romano y ex alumno de Hypatia, porque era un símbolo de la cultura clásica y la ciencia pluralistas, que la primitiva Iglesia calificaba de herejía. A pesar del grave riesgo personal que ello suponía, continuó enseñando y publicando, hasta que “en marzo del año 415, cuando iba a trabajar, cayó en manos de una turba fanática de feligreses de Cirilo. La arrancaron del carruaje, rompieron sus vestidos, la arrastraron atada al carruaje hasta la iglesia de Cesárea y, armados con conchas marinas, la despedazaron arrancándole la carne de los huesos y los pedazos de su cuerpo fueron quemados hasta reducirlos a cenizas. Sus restos fueron “eliminados”, sus obras destruidas, su nombre (… casi [7]) olvidado. Luego, Cirilo fue canonizado y proclamado Santo”.[8]
La intolerancia fanática de todo dogmatismo no aceptó -ni aceptará jamás- a una mujer que pensara por sí misma, un ser independiente que no creía en dogmas ni aceptaba imposiciones jerárquicas; que creía en la capacidad de la humanidad para pensar y poder comprender y transformar el mundo que la rodea.
La opresión y la desconfianza al saber, propias de los autoritarios, han avasallado (…casi [9]) todos los entrañables recuerdos de Hypatia y del esplendor de la Antigua Alejandría.
3.- LA GRAMÁTICA DE LOS MUNDOS POSIBLES, COMO ENLACE ENTRE EL LENGUAJE NATURAL Y EL ARTIFICIAL
Prof. Gustavo Manzanal
El término ‘gramática’ significa, por lo menos, dos cosas bien distintas, casi antagónicas. Por un lado, refiere al dispositivo cerebral por el cual los seres humanos nos distinguimos —nótese que no lo estamos emparentando en este caso con el término ‘lenguaje’, pues es sabido que muchísimas especies (por no decir todas) cuentan con uno, capaz de conducirlas al establecimiento de relaciones funcionales con sus pares y su medio. Hablamos de un dispositivo cerebral compuesto de estructuras vacías al nacer, de perfiles delimitadores, de microfibrillas conectivas que se presentan proclives a encauzar encadenamientos de alta complejidad; compuesto también de sectores (faces), cuya fuente energética los pone en combinación con la totalidad del dispositivo (niveles de interfaz), hasta llegar a desembocar en un acto voluntario, muscular y expresivo, primero elemental y luego cada vez más elaborado —ocasión en que las estructuras vacías mencionadas comienzan a llenarse por influencia del contexto de situación—; merced a ese acto se consigue iniciar y desarrollar el atractivo sendero de la comunicación y de algo todavía más irrefrenable y responsabilizante: la CONSTRUCCIÓN DE LA REALIDAD.
Así, el tal dispositivo biológico llamado GRAMÁTICA forja una idea del mundo y traslada su propia conformación a la organización de esa idea, por tanto, al mundo como EVENTO interpretable. Lo que nació siendo una fuerza espiratoria también abre los canales a la introspección y con ello destina al ser para comprender y entablarse con todo lo que lo rodea. Fuerza centrífuga y centrípeta a la vez, la gramática se adueña tanto del deseo como de lo deseado.
Por otro lado, llámase ‘gramática’ al tratamiento que todas las culturas (al menos desde la hindú, hace veinticinco siglos, pues la de la lengua sagrada Sánscrito es la primera que se conoce) intentaron dar, no sobre el fenómeno que produce ‘lenguaje’ —en valores que incluyen a los recursos animales— sino en relación con aquel por el cual cada cultura tiene lo que se merece. Es decir, cada cultura miró hacia dentro mirando hacia fuera —recayendo en lo observable, que no es más que el dato frente al que uno ejerce cierto dominio, el dato sobre lo propio—; a lo largo de la historia son muy pocos los que miraron hacia fuera y dieron cuenta del afuera —lo que el ser humano está en condiciones de afrontar dada su condición—, ni miraron hacia dentro haciéndose cargo de ello —hablar, escribir, es mucho más que vérselas con unos sonidos o unos signos que bien podrían ser otros cualesquiera.
Pero el tratamiento se intentó, no llegando a ser más que una mera descripción de los acontecimientos motores y físicos que provocan el lenguaje, y que terminan traducidos en líneas más o menos homogéneas cuyo conjunto deriva en los llamados ‘enunciados’; el objeto fue el más próximo, la propia Lengua. Para tal acometida se construyó ‘otro lenguaje’, el de la ciencia (si bien hay que admitir el escaso cientificismo de la mayoría de las aproximaciones efectuadas), y Gramática pasó a significar ‘Lenguaje Artificial para la descripción de las Lenguas Nacionales’ —o equivalentes (dialectos).
A ver, pasemos en limpio:
• Lenguaje (capacidad desarrollable de las especies para comunicarse y crear su propio entorno).
• Gramática ‘A’ (dispositivo cerebral que impulsa las particularidades de esa capacidad en los humanos).
• Lengua (usufructo de tal capacidad por parte de cada cultura, con sus distintivas inscripciones y caracterizaciones).
• Gramática ‘B’ (descripción de las lenguas particulares).
Ahora bien, si el ‘lenguaje natural’ es la denominación que se otorga a aquellos sistemas simbólicos no creados adrede sino fruto de las condiciones genéticas en que se producen, por oposición a ‘lenguaje formal o artificial’, que es aquel constructo generado a partir de la necesidad de dar cuenta de determinado asunto, la Gramática es Lenguaje Natural en ‘A’ y Lenguaje Artificial en ‘B’, y en esta dualidad deja de referirse tanto al dispositivo como a la lengua de que se trate, con lo que se convierte en algo así como Gramática ‘C’, que apunta a ser el Núcleo Duro al que debe aspirar todo estudio serio sobre el lenguaje en general: estamos queriendo decir que remite a la ciencia abocada a tal estudio, la Lingüística. Con lo que:
• Lenguaje …
• Gramática ‘A’ …
• Lengua …
• Gramática ‘B’ …
• Gramática ‘A’ + Gramática ‘B’ = Gramática ‘C’ (Lingüística)
Claro, si esa ciencia se ocupara sólo de ‘A’ sería más bien una rama de la Biología, una Psicología Genetista del lenguaje; si se ocupara sólo de ‘B’ (como se han confundido a menudo sus propósitos) sería la Lingüística del ‘español’, o del ‘francés’, o del ‘calchaquí’.
Los que deben interesar son el fenómeno propulsor (el Estado Inicial) y su corporización concreta en alguna lengua, como Modelo de verificación (el Estado de Llegada). Lo que se encuentre en los embriones forjadores del Estado de Llegada, antes de convertirse en Léxico y Discurso, será tomado como Postulado de Universalidad (llevará a pensar que cualquier ser humano está destinado a que esos embriones germinen, sea futuro hablante del japonés o del congoleño).
La Morfosintaxis se presenta como el vehículo a través del cual su estudio confiará, aproximándose a una lengua en especial, en hacerlo a la naturaleza de todas las otras. Pues el desarrollo ‘artificial’ de lo ‘natural’ queda en manos de un programa de acciones sobre el fenómeno de la emisión que llegue a decir qué es en sus niveles de superficie y que puede llegar a ser en sus subyacencias. Y tal programa se vuelve factible en una sintaxis (o morfosintaxis, en tanto vínculo entre forma y utilidad, entre leyes de comprobación y partículas aprobatorias de esas leyes). Si bien el orden del mundo es cultural, y la cultura es singular y por lo mismo dueña de una lengua que estatuye entre otras cosas su pecularidad, la (morfo)sintaxis parece ser un abrevadero común para la instalación en las lenguas de cierto orden de consumación de sus elementos.
Más allá de las posiciones que les toque a los ítems respectivos, y de sus diferentes modos de enlace, la (morfo)sintaxis nos habla de enlaces y posiciones, razón suficiente para otorgarle primacía en su calidad de Postulado de Universalidad.
Abordar cómo son esas posiciones y esos enlaces en el ‘español’ constituirá la toma de partido por las Posibilidades de Ocurrencia, en esa lengua, de los entramados generadores del lenguaje en el ser humano.
Se trata entonces de intentar un sistema de acceso a la construcción del lenguaje, la cual se vuelve efectiva por vías de un dispositivo interno llamado Gramática.
Tal sistema constituye una subteoría gramatical, consistente en principios y métodos de análisis. Su fundamento filosófico es que todo lo que sucede en el enunciado está destinado a suceder: se trata, pues, de MUNDOS POSIBLES –MP– contenidos en las unidades verificables como facultad realizada o no.
Para consolidar la subteoría es preciso confeccionar una Metateoría capaz de explicar cómo se han alcanzado las soluciones propuestas, y que a la vez esté en condiciones de aceptar contraejemplos y confrontación con otras teorías.
Epistemológicamente, la Gramática es en sí inalcanzable, pues se trata de una propiedad genética cerebral/mental, y por lo tanto el gramático debe ser consciente de que trabaja con un instrumento de aproximación a esa propiedad, el cual por generalidad de aspectos, como vimos, se conoce con el nombre de Morfosintaxis. Su desenvolvimiento en el marco social, o sus distorsiones orgánicas y conductas especiales, las especulaciones en torno de sus valores y desencadenantes en la vida personal, sus registros zonales o históricos, y demás concomitancias, deben caer bajo el dominio de disciplinas anexas que se ocupan del lenguaje de manera periférica: la Sociolingüística, la Neuro y Psicolingüística, la Filolingüística, la Geografía Lingüística y Etnolingüística, en fin, la Antropología y las ‘Ciencias del hombre’ con arreglo hacia un estrechamiento de lazos con las Ciencias llamadas ‘naturales’ (como hemos tratado de decir en esta breve exposición), al modo del generativismo en Lingüística, operando prácticamente con fórmulas matemáticas para la reconstrucción de las propiedades gramaticales innatas.
4. "primero fui best seller en Exactas"
Entrevista a Guillermo Martínez *
por Liber Aparisi
Estamos en Belgrano y subimos al primer piso vacío de esta casa de estilo devenida en confitería moderna. Pide un café. En minutos está en medio de la producción fotográfica. Es muy amable, sobrio y agradable. Se interesa por la nota y en broma, haciéndome el ofendido, le pregunto:
... Te retiraste de las matemáticas?
No, no tiene que ver con una decisión contra la matemática, para nada. Al contrario, siempre lo dije, estoy muy agradecido por esta especie de mirada adicional que da cualquier disciplina científica, es como una manera diferente de ver y de estar en el mundo.
Tiene que ver simplemente con la lista de espera de los libros que tengo y el hecho, de que estoy por cumplir cuarenta y cinco años y me hace pensar en la necesidad de concentrar esfuerzos. Además en los últimos años tuve que invertir mucho tiempo también en viajar por el tema de los libros y las traducciones y me parece como más agradable en este momento de disponer el tiempo de esa manera. Después de muchos años de estar en la literatura puedo ahora vivir de mis libros, este tipo de factores hicieron que tomara esa decisión.
Imaginamos al escritor trabajando y lo que eso conlleva de soledad. Pero el matemático también, no? Cómo hacías para armar esas dos vidas en una?
Bueno, durante mucho tiempo fue así. Trataba de utilizar muy bien las vacaciones de verano ó bien en periodos largos, las mañanas. Pero inevitablemente cuando uno tiene una actividad pautada, rentada, de la que te exigen informes académicos, etc., cuando uno tiene alumnos de doctorado, ó tiene que evaluar proyectos y hacer sus propios trabajos de investigación siempre se reciente la parte mas débil, que es la parte del tiempo libre que uno le deja a la literatura. Quería revertir esa situación y poner en primer lugar, darle prioridad, al tiempo para la literatura. Lo hice en un principio a costa de sacrificar horas de la investigación. Y en este momento por el tipo de proyecto de trabajos que tengo por delante me siento más tranquilo, incluso con mi conciencia profesional, directamente dando un paso al costado en la matemática.
¿Pensaste en dar el paso al costado en la literatura?
Mientras estuve en Inglaterra. Fueron dos años, que prácticamente no escribí y lo sentí muchísimo. Es decir, me cuesta muchísimo mas trabajo pensar en sacrificar la literatura que en sacrificar la matemática. De hecho, igual no siento que me alejé para siempre de la matemática, tengo un proyecto, justamente con Gustavo Piñeiro de escribir un libro sobre el teorema de Gödel, en base a resultados sobre los que estuvimos trabajando mucho en los últimos años. Es un libro que de algún modo me va a mantener en contacto, pero desde un lugar un poco más tranquilo, sin exigencias diarias ó mensuales.
Ya te sentías reconocido como escritor dentro de la facultad?
Creo que el primer lugar donde fui best seller fue en Exactas. Si, me leían y fue el gran espaldarazo. Tengo la sensación de que crímenes imperceptibles de algún modo, explotó, como se dice en la jerga editorial, gracias a la gente de Exactas que lo compró.
Creo que me habían leído antes, pero como mis libros aparecieron pocos a lo largo de muchos años, lo consideraban, y hasta en cierto punto lo hacia yo, como un hobby espaciado. Recién creo que yo mismo me empecé a sentir un escritor después que éste libro tuvo tanto éxito.
Ayudanos a los lectores de la revista con ésto: ¿Por qué los alumnos fallan en matemática?
Tengo una teoría un poco extraña, que es que la matemática entra en un momento equivocado, en general, en la vida de los chicos. No significa que no haya chicos dotados especialmente para las matemáticas desde muy temprano, pero me parece que en los primeros años del colegio primario es a la vez, el momento en que los chicos de esa edad aprenden mejor que cualquier adulto las habilidades que tienen que ver con las destrezas físicas, los deportes en particular, con la música y los instrumentos, que de algún modo involucra la destreza manual y los idiomas.
Para mí, una educación razonable tendría que hacer hincapié en esos años primeros, en esas habilidades. Y la parte de la matemática desarrollarla a través de juegos como el ajedrez, juegos que están en las inmediaciones del pensamiento y que ayudan a lo que es la concentración, ayudan a lo que es la anticipación, el planteo de problemas, el desarrollo de estrategias. Juegos que tengan un espíritu, un aire matemático, así enseñaría yo la matemática en los primeros años.
Y algo así intentan hacer en Inglaterra. No se preocupan demasiado por los contenidos de la educación hasta que los chicos no tienen nueve años y en los últimos años les enseñan todos los contenidos. En vez de repetir las tablas todos los años las enseñan una vez cuando son más grandes. Y les enseñan mucho mas en los últimos años que en los años anteriores, pero mientras tanto se va formando de algún modo como esa especie de maduración de lo abstracto que requiere lo matemático.
Me parece que el primer encuentro con la matemática debería resultarle a los chicos fácil, familiar, agradable como puede resultar una materia como la literatura. Si los chicos escucharan cuentos desde que son chiquitos a la noche y llegan a la escuela y de pronto escuchan un cuento, bueno, es algo que esta dentro de un mundo familiar que les resulta agradable.
Hay toda una parte de la matemática que tiene que ver con darles a entender a los chicos ó mostrarles, cómo también la matemática está ligada con la vida. Creo que ese es el gran aporte que intentan hacer libritos como el de Paenza (Adrián Paenza, ¿Matemática… estás ahí? 2005)
Ó como el de Pablo Amster, la matemática como una de las bellas artes; y Toda la colección Ciencia que ladra (dirigida por Diego Golombek, Siglo XXI editores)
Claro, mostrar como hay una vinculación natural. Y te diría incluso, desde el punto de vista práctico y también desde el punto de vista filosófico hay toda una manera de pensar en cosas de la vida diaria que tienen que ver, y aún en cuestiones puramente lógicas, con una mirada científica. Que el algunos no es lo mismo que el para todos. El hecho de que se verifique el n=1, n=2, n=3 no significa que se verifique para todo n. Son las verdaderas herramientas que uno puede recoger de la ciencia para todo, para la política, las discusiones, esos mínimos elementos de racionalidad que no están en la práctica diaria.
Hay algo también en la matemática que se parece a la naturaleza, en el sentido que uno tiene que también hacer las cosas. O sea, no sirve la inferencia lógica, hay algo en la naturaleza de cada problema que tiene que ver con lo que tiene que ver y ocurre también en la naturaleza. Y esto también está diciendo: Cuidado con la inducción.
Lo mismo ocurre en un curso de matemática, ocurre con las raíces resolubles por radicales de polinomios. Hay métodos de resolución de grado 1, de grado 2, grado 3, grado 4, pero de grado 5 ya no hay métodos generales. Pero vos ya no podes explicarle eso a un chico, pero este ejemplo que hicimos antes sí se lo podes explicar. Y de algún modo es el mismo tipo de concepto: Cuidado con la manera en que se hace inducción, cuidado con el método de inducción.
¿Cómo fue lo tuyo en la secundaria?
Matemática fue la materia en la que peor me iba, sin ninguna duda.
...ya tengo el título!
Sí, sin ninguna duda. No me iba mal, pero para las demás materias tenia una especie de afinidad inmediata, me daba cuenta inmediatamente como eran las líneas generatrices de lo que estaba estudiando y en cambio en la matemática no tenía eso. Nunca me sentí un matemático nato. Seguro hay un don matemático, indudablemente, incluso lo vi en uno de mis compañeros, de una facilidad, de una intuición acorde a la disciplina. Te juro que me sentaba y no estudiaba casi nada, porque en la secundaria me interesaba el tenis.
(...)
Prácticamente en toda la secundaria me dediqué a jugar al tenis, y un poco al ajedrez, un par de años. Lo intenté. Llegué a jugar los Nacionales pero no tenía ni de lejos la envergadura física que hay que tener como para ser tenista, entonces perdía inmediatamente. Pero si me dediqué de una manera absoluta.
Entonces… Mejor la matemática
Cuando empecé la Universidad si me gustó la matemática y sobre todo una materia, creo que de álgebra en el fondo, pero que se hablaba de los diversos tipos de infinito, de las paradojas lógicas. Ahí fue que encontré como un pasaje de la matemática y la filosofía, de la matemática y la lógica. En Bahía Blanca había una Escuela de Lógica importante y me enteré de algo que se llamaba la lógica matemática. Borges decía que había personajes en las mil y una noches que se enamoraban de una mujer sólo por escuchar su nombre, bueno, a mí me pasó algo así con la lógica matemática, solamente de escuchar la idea que yo me hice, me pareció que era algo formidable, que debería ser algo muy interesante para hacer. Entonces me dediqué a estudiar esos temas, me fue realmente bien en esa área. Dentro de la matemática hay ramas muy diferentes con herramientas muy distintas, con intuiciones distintas, y creo que tenía cierta intuición mejor con respecto a esta rama de la lógica.
¿Probaste en otra área?
No, siempre me mantuve dentro del área de la lógica…
Guillermo, cuáles son tus matemáticos favoritos?
Es difícil porque no tengo como un panorama de toda la obra de un matemático. Me impresionó mucho un matemático que venía a la Argentina que se llama Daniel Mundici. Pero lo que me impresionó mucho fue, no solamente en su manera, su cultura matemática y profundidad, la manera de exponer las ideas. O sea que ese es un tipo de matemático que también me resulta interesante. Venía a dar seminarios y cursos. Se especializó en lo que se llama las M. V.-Álgebras. Pero sobre todo, me gustaba conversar con él, conversé varias veces, y me gustaba la manera en que se apropiaba de los temas e inmediatamente podía pensar a la par de lo que uno sugería e ir más allá y hacer las preguntas. Ese es el tipo de matemáticos que yo admiro.Muchos matemáticos tienen esa particularidad, pero bueno, a mí me tocó trabajar con él.
Habría muchos, pero no puedo pensar en un matemático clásico porque no he seguido toda la trayectoria de ningún matemático clásico, salvo Gödel. Pero Gödel tiene unos pocos trabajos, no era un matemático tan completo.
¿Cuál va a ser tu teorema imposible de demostrar?
Tengo una especie de proyecto imposible. Por el tiempo que me llevaría pero que me hubiera gustado hacer, que es reproducir el tipo de reflexión que hace Ludwig Wittgenstein en las observaciones filosóficas en el área de la crítica literaria. Mas específicamente en la reflexión de qué es lo que hace que uno le guste ó no le guste un texto. En Wittgenstein hay una aproximación al problema del lenguaje y el conocimiento a través del lenguaje desde una posición aparentemente naif, y en principio es completamente naif, y solamente por los obstáculos lógicos que se van planteando a medida de que él trata de analizar de que manera se articula el lenguaje, de que manera lo aprende un niño, de que manera las palabras son realmente lo esencial del lenguaje, los conectivos, etc. A mí me gustaría llevarlo al plano de la crítica literaria. Y ahí creo que podría hacer un uso indirecto y extraño de algunos saberes lógicos.
¿Una biografía imperdible?
La de Philip Dick por Emmanuel Carrére (“Yo estoy vivo y ustedes están muertos. Philip Dick 1928-1982”, 2002), es un libro extraordinario. Además creo que en Philip Dick hay algo que tiene que ver con la ciencia ficción y a cualquier persona con un interés científico le va a parecer esa biografía extraordinaria.
¿Ajedrez o Go?
Al Go he jugado, pero la verdad jugué muy poquito en mi adolescencia, recuerdo haber aprendido un poco las reglas en un momento pero después me olvidé todo. Y recuperé algo del espíritu del Go con la novela El maestro de Go de Kawagata (Yasanari Kawagata, 1951) y de ahí saqué alguna idea para esta novela que terminé ahora.
¿Coleccionas algo?
No
¿..Nada?
(piensa) ...Sólo los libros que van apareciendo traducidos.
* Guillermo Martinez Autor de la novela policial Crímenes imperceptibles, con la que ganó el premio Planeta en 2003. Convertida en best seller fue traducida a mas de 30 idiomas. Sólo en Inglaterra, ciudad donde transcurre la historia se vendieron 100.000 libros. El director Alex de la Iglesia eligió para llevarla a la pantalla grande, la producción llevará por título los Crímenes de Oxford tal como fue el nombre del libro en España. Guillermo Martinez es doctor en Matemática y nació en Bahía Blanca.
Fotografía de Mariana Ruddock http://www.cameroniruddock.com.ar
5.- INTUICIÓN Y VERDAD
Prof. Gustavo Piñeiro
1. Introducción: el enfoque gráfico
Cuando se enseña Análisis Matemático, más precisamente cuando se dicta un curso de Análisis I, es común apoyarse fuertemente en la intuición geométrica. Muchas veces, al plantear definiciones o demostraciones, se apela a lo que aquí llamaremos la “intuición dibujística”, es decir se recurre al gráfico como herramienta principal de la definición o del razonamiento en cuestión. Por ejemplo, es común que se diga que una función continua es aquella “cuyo gráfico se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel”. Las discontinuidades coinciden, según esta idea gráfica, con aquellos puntos en los que nos vemos obligados a levantar el lápiz del papel, tal como sucede por ejemplo en x = 0 para la función f(x) = . Posteriormente suele darse una definición más formal basada en la noción de límite, pero el concepto “dibujístico” inicial nunca es abandonado.
Este enfoque gráfico no es para nada criticable, muy por el contrario, una aproximación gráfica intuitiva permite una mejor asimilación de los conceptos por parte de los alumnos. Por otra parte, este enfoque está totalmente de acuerdo con el desarrollo histórico de los conceptos, pues el Análisis fue inicialmente una herramienta para el estudio de curvas en tanto que objetos geométricos y sólo mucho después se transformó en el estudio de funciones.
¿Pero deben los docentes quedarse únicamente con esta visión “dibujística” del Análisis? ¿Es la intuición geométrica suficiente para todos los fines? ¿Es realmente suficiente para distinguir la verdad de la mentira (al menos en el Análisis, ya que seguramente no en otros órdenes de la vida)?
La intención en estas líneas es mostrar que el enfoque gráfico es insuficiente para distinguir cuáles afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Como método de razonamiento puede llevarnos a conclusiones erróneas. Está muy bien usar el método “dibujístico” como herramienta para la enseñanza, pero sería un grave error que el docente creyera que ese enfoque bastará para comprender adecuadamente todos los conceptos del Análisis (aun conceptos aparentemente tan sencillos como la noción de función continua). Presentaremos en estas líneas algunos ejemplos en los que se verá cómo la noción gráfica puede engañarnos.
2. El Teorema de Bolzano
Una propiedad fundamental de las funciones continuas es el llamado Teorema de Bolzano, que afirma que: si f : [a,b] ® R es una función continua tal que f(a) y f(b) tienen distinto signo (es decir, f(a) es positivo y f(b) es negativo, o viceversa) entonces existe algún c Î (a,b) tal que f(c) = 0. Tomemos la definición “dibujística” de la noción de continuidad y veamos, a modo de ejemplo, un razonamiento que justifique este teorema.
Supongamos que f(a) <> 0 (si los signos fuesen al revés el razonamiento es igual). Gráficamente, que f(a) < x =" a"> 0 significa que en ese punto el gráfico está por arriba del eje x. Que f(c) = 0 quiere decir que en x = c el gráfico corta al eje x.
La traducción gráfica del Teorema de Bolzano (para el caso en que f(a) <> 0) es entonces la siguiente: si en x = a el gráfico de f está por debajo del eje x y en x = b está por encima, entonces existe algún punto entre a y b donde el gráfico corta al eje x.
La demostración gráfica es inmediata: si en x = a el gráfico está por debajo del eje x y en x = b está por encima y además no hay saltos (porque la función es continua) entonces, inevitablemente, la curva tuvo que cortar al eje en al menos un punto. En cualquiera de esos puntos de corte tenemos un valor de c en el que f(c) = 0.
¿Es correcto este razonamiento? Todos estaríamos tentados de decir que sí y ninguno de nosotros, puestos en el trance de enseñar Análisis I, dudaría en usarlo para justificar el Teorema de Bolzano. Más aún, el autor de estas líneas, docente de Análisis Matemático en el CBC de la UBA, ha usado la definición “dibujística” de continuidad citada más arriba así como el razonamiento que acabamos de exponer para justificar el Teorema de Bolzano.
Pero si este razonamiento es correcto, ¿por qué muchos libros de Análisis (especialmente los buenos libros de Análisis) suelen demostrar el Teorema de Bolzano de una manera mucho más complicada y menos intuitiva? (Véase por ejemplo Kuratowski, citado en la bibliografía) ¿Por qué se apela a pruebas complicadas, siendo que el argumento gráfico es tan claro e intuitivo? ¿Por pura maldad? ¿Puro rebuscamiento? ¿Excesivo amor al rigor lógico? La respuesta es que se apela a razonamientos no “dibujísticos” porque, como anticipamos más arriba, esos razonamientos son engañosos, traicioneros, pues así como sirven para convencernos fácilmente de afirmaciones verdaderas, con la misma facilidad pueden convencernos de afirmaciones que son completamente falsas.
A modo de ejemplo, vamos a exponer cuatro afirmaciones de Análisis I. Cada una de estas afirmaciones será “demostrada” mediante un razonamiento “dibujístico” similar al que expusimos para el Teorema de Bolzano. Sin embargo, al menos una de esas afirmaciones es falsa. Es decir, daremos al menos un razonamiento que nos convencerá de algo que es falso.
Invitamos a los lectores a que, después de que leer cada ejemplo, intenten determinar si la afirmación que se enuncia es verdadera o falsa. En la séptima sección diremos cuáles de las afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.
3. Primer ejemplo
Primera afirmación: toda función continua es derivable, excepto eventualmente en un conjunto aislado de puntos.
Antes de ser “demostrada”, esta afirmación requiere alguna explicación. Desde el punto de vista “dibujístico”, una función es derivable si su gráfico es suave, es decir, si no tiene ángulos ni vértices. En los puntos donde aparecen esos ángulos la derivabilidad falla. Por ejemplo, es bien sabido que la función f(x) = x no es derivable en x = 0. Esto se observa claramente en el dibujo, pues en x = 0 el gráfico en forma de V del módulo tiene un vértice bien visible:
(Nótese, por otra parte, que la función sí es derivable en cualquier otro punto y que su derivada vale 1 si x > 0 y –1 si x < s =" 1" r =" 0,5" t =" 1,5" s =" 1,5;" style="" href="http://www.blogger.com/rearrange?blogID=3689132193383213256&action=editWidget§ionId=footer&widgetType=Text#_ftn11" name="_ftnref11" title="">[10]
Es interesante notar que es muy difícil, por no decir imposible, imaginar correctamente el gráfico de esta función, que se parece a una nube horizontal de puntos a la altura de y = 1 y una nube similar, aunque no idéntica, a la altura de y = 0. Puede demostrarse, “dibujísticamente” o formalmente, que esta función es discontinua en todo R, todos los números reales son puntos de discontinuidad de esta función. Tanto el razonamiento “dibujístico” como el formal se basan en el hecho de que entre dos números reales hay infinitos números racionales y también infinitos números irracionales.
La cuarta afirmación dice que es imposible dar una función que sea continua en todos los números irracionales y discontinua en todos los racionales. Una función así tendría totalmente “mezclados” sus puntos de discontinuidad con sus puntos de continuidad y, de hecho, violaría lo afirmado en el ejemplo anterior. Este razonamiento parece probar que una función así no puede existir.
7. Respuestas
Esperamos que los lectores hayan podido reflexionar acerca de cuáles de las cuatro afirmaciones anteriores les parecen verdaderas y cuáles falsas. Pues bien, la respuesta es que las cuatro afirmaciones son falsas. En todos los casos el razonamiento “dibujístico” nos ha engañado.
Mostraremos a continuación contraejemplos para cada una de las afirmaciones. Por razones de espacio no podremos demostrar que, en efecto, cada una de las funciones que mostraremos cumple las propiedades que vamos a atribuirles.
Contraejemplo a la primera afirmación: recordemos que esta afirmación dice que una función continua es derivable excepto tal vez en un conjunto aislado de puntos. Esta afirmación es tan convincente que en 1806 André-Marie Ampère publicó una “demostración” gráfica de ella, que en aquel momento fue aceptada como correcta.
En 1872, en una conferencia ante la Academia de Ciencias de Berlín, Karl Weierstrass mostró un ejemplo de una función que es continua en todo R, pero que no es derivable en ningún punto. Todos los números reales son puntos de no derivabilidad de esta función. Como curiosidad mostremos su fórmula: . Su gráfico es inimaginable, completamente “picudo por todos lados”. Puede encontrarse más información acerca de esta función en http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-06.shtm#MandelbrotWeierstrass.
Contraejemplo a la segunda afirmación: esta afirmación dice que si f : [0,1] ® R es una función continua tal que f(0) = 0 y f(1) = 1 entonces existe algún c donde f es derivable y además en ese punto la derivada es positiva. El contraejemplo en este caso es la llamada Función de Cantor, que se define por pasos sucesivos de la siguiente manera. Para comenzar dividimos el intervalo [0,1] en tres partes iguales, que son los subintervalos .
En un primer paso definimos el valor de f para los x que están en el intervalo central. Para todo definimos . En el segundo paso dividimos cada uno de los dos intervalos de los extremos, es decir , en tres partes iguales y definimos f para cada uno de los dos novenos centrales. Para definimos y para definimos . Y así sucesivamente. Éste es el gráfico parcial de la función después de estos dos pasos:
Al cabo de infinitos pasos, el gráfico tiene un aspecto similar al siguiente:
Los que parecen ser segmentos oblicuos en realidad no lo son, ya que una ampliación de la imagen nos mostraría más segmentos horizontales unidos por aparentes segmentos oblicuos, que a su vez son segmentos horizontales más pequeños y así sucesivamente.
En realidad el gráfico es, más o menos, un “pegoteo” de segmentos horizontales. Puede demostrarse que la Función de Cantor (también llamada Escalera del Diablo) es continua, que f(0) = 0, f(1) = 1, no es derivable en todos los puntos del intervalo [0,1], y que en todos los puntos donde es derivable, la derivada vale 0. Nunca la derivada es positiva. Más información sobre esta función se puede encontrar en http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-05.shtm#EscaleraDiablo.
Contraejemplo a la tercera afirmación: esta afirmación dice que si f : R ® R es continua en un punto entonces es continua en todo un intervalo alrededor de ese punto. Un contraejemplo para esta afirmación es la siguiente:
Puede demostrarse que esta función es continua únicamente en x = 0 y en ningún otro punto.
Contraejemplo a la cuarta afirmación: esta afirmación dice que es imposible definir una función f : R ® R que sea continua en todos los números irracionales, pero discontinua en todos los racionales. Vamos a exhibir una función que sí cumple las condiciones indicadas.
Recordemos que todo número racional se puede escribir como una fracción , donde a y b son números enteros. Si ponemos la condición adicional de que b > 0 y que el máximo común divisor de a y b sea igual a 1, entonces la escritura como fracción es única. Podemos definir entonces la siguiente función:
Puede demostrarse que esta función es continua en todo número irracional y discontinua en todo racional.
8. Conclusión
¿Por qué fallan los razonamientos “dibujísticos”? ¿Por qué es tan fácil ser engañados por ellos? Una respuesta posible, aunque seguramente sólo parcial, es la siguiente. Cuando pensamos en el gráfico de una función solemos pensar en curvas como ésta:
Gráficos suaves, curvas bien visibles. Pero los gráficos, aun de las funciones continuas, pueden ser mucho más complicados de lo que podemos imaginar. El gráfico de la Función de Cantor, mostrado más arriba, que es en realidad un fractal, o el gráfico de la Función de Weierstrass, que es también un fractal, son muy difíciles de visualizar en toda su complejidad. No podemos confiar ciegamente en la intuición gráfica. Sólo las demostraciones formales nos dan seguridad de corrección. El razonamiento “dibujístico” es una excelente herramienta para la enseñanza, pero debemos ser plenamente concientes de sus limitaciones.
Bibliografía
GELBAUM, B.; OLMSTED, J – Counterexamples in Analysis – Dover Publications Inc., Nueva York, 1992.
KURATOWSKI, K. – Introducción al Cálculo – Editorial Limusa, México, 1995.
SPRECHER, D. – Elements of Real Analysis – Dover Publications Inc., Nueva York, 1970.
[1] Esta reseña biográfica, toma referencias de: Cervantes, Erika: “HYPATIA DE ALEJANDRIA, LA PRIMERA MUJER MATEMATICA DE LA HISTORIA (CIMAC)* (15/11/2004)
* Cervantes, Erika; Reportera de Agencia Comunicación e Información de la Mujer (CIMAC), México.
[2] Sagan, Carl: “COSMOS”.
[3] Heath, T. L.: “A History of Greek Mathematics”, (2 Vols.). Oxford, (1921).
[4] Llamadas así porque pueden obtenerse cortando un cono en diferentes ángulos. Dieciocho siglos mas tarde Johannes Kepler utilizaría la versión de Teón e Hypatia de los escritos de Apolonio sobre las secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola) para comprender por primera vez el movimiento de los planetas.
[5] Biografía de Hypatia; en Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
[6] Heath, T. L.: “A History of Greek Mathematics”, (2 Vols.). Oxford, (1921).
[7] El paréntesis es del autor
[8] Sagan, Carl: “COSMOS”.
[9] El paréntesis es del autor
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